% Лекция 8 (16.10.23)

%% NOTE: 24?
\begin{theorem}[Об изоморфных эллиптических кривых над полем характеристики $> 3$]
  Всякая эллиптическая кривая над полем характеристики $> 3$ изоморфна
  эллиптической кривой вида
  \begin{equation*} %% NOTE: 8
    y^2 = x^3 + ax + b
  \end{equation*}
\end{theorem}
\begin{proof}
  Пусть $F$ --- поле характеристики $> 3$, $E$ --- эллиптическая кривая,
  заданная уравнением (2). Согласно теореме 23 данная кривая изоморфна кривой
  (7). Тогда сделаем в (7) замену переменных
  \begin{equation*}
    (x, y) \mapsto (x - \frac{b_2}{3}, y),
  \end{equation*}
  получим
  %% TODO: дописать eq1
  \begin{align*}
    y^2 &= \left(x - \frac{b_2}{3}\right)^3 + b_2 \left(x - \frac{b_2}{3}\right)^2
    + b_4 \left(x - \frac{b_2}{3}\right) + b_6, \\
    y^2 &= x^3 - b_2 x^2 + \frac{b_2^2}{3}x - \frac{b_2^3}{27} + b_2
    \left(x^2 - \frac{2b_2}{3}x + \frac{b_2^2}{9}\right) + b_4 x - \frac{b_2 b_4}{3} + b_6, \\
    \dots
  \end{align*}

  Таким образом, данная замена переводит кривую (7) в (8).
\end{proof}

Для эллиптической кривой, заданной уравнением (8), формулы для дискриминанта и
$j$-инварианта принимают вид
\begin{align*}
  \Delta &= -16 (4a^3 + 27b^2), \\
  j(E) &= -1728 \frac{64a^3}{\Delta} = 1728 \frac{4a^3}{4a^3 + 27b^2}
\end{align*}

В уравнении левая сторона ($y^2$) имеет степень 2, в то время как правая сторона
имеет степень 3 ($x^3$). Это означает, что горизонтальная линия может пересекать
кривую в трёх точках, если все корни вещественные. Однако вертикальная линия
может пересечь кривую самое большее в двух точках.

\begin{example}
  На рисунке 14 показаны две эллиптические кривые с уравнениями
  \begin{equation*}
    y^2 = x^3 - 9x \land y^2 = x^3 - 1 \; (y^2 = (x - 1)(x^2 + x + 1))
  \end{equation*}
  %% TODO: рисунок 1 (14)

  Таким образом, обе кривые гладкие. Однако первое имеет три вещественных корня
  ($x = \pm 3, x = 0$), второе --- только один вещественные корень ($x = 1$) и
  два мнимых ($x = \pm \frac{\sqrt{3} i - 1}{2}$; удовлетворяют уравнению
  $x^2 + x + 1 = 0$).
\end{example}

%% NOTE: 4
\paragraph{Сложение точек эллиптической кривой.}

Существует ряд эквивалентных способов для описания группового закона сложения
точек эллиптической кривой. Геометрически этот закон можно сформулировать
следующим образом: \emph{три коллинеарные точки на эллиптической кривой дают
нулевую сумму}. Операция сложения точек на эллиптической кривой, введённая по
данному правилу, превращает эллиптическую кривую в коммутативную группу.

Далее будут рассмотрены формулы сложения точек эллиптической кривой, которые
вытекают из данного правила. В качестве нулевого элемента выбирается точка
$\mathcal{O}$ на бесконечности. Таким образом, для любой точки $P \in E$
имеют место равенства
\begin{equation*}
  P + \mathcal{O} = \mathcal{O} + P = P.
\end{equation*}

Секущая, проходящая через бесконечно удалённую точку $\mathcal{O}$ и данную
точку кривой $P$, является вертикальной прямой.

Пусть $P \ne \mathcal{O}$ --- точка эллиптической кривой $E$ и $l$ ---
вертикальная прямая, проходящая через точку $P = (x_1, y_1)$. Эта прямая
пересекает $E$ ещё в точке $Q$ (с учётом кратности). Таким образом, $-P = Q$.

Пусть $Q = (x_2, y_2)$. Так как она лежит на вертикальной прямой $l$, то
$x_1 = x_2$. Тогда $y_2$ является решением уравнения
\begin{equation} %% NOTE: 9
  y^2 + f_1(x_1) y - f_3(x_1) = 0,
  \label{eq:9}
\end{equation}
где $f_1(x) = a_1 x + a_3$, $f_3(x) = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$.

Уравнение (\ref{eq:9}) имеет два корня $y_1$ и $y_2$. По теореме Виета
\begin{equation*}
  y_1 + y_2 = -f_1(x_1),
\end{equation*}
откуда получаем
\begin{equation*}
  y_2 = -y_1 - f_1(x_1).
\end{equation*}

Итак,
\begin{equation}
  -(x_1, y_1) = (x_1, -y_1 - a_1 x_1 - a_3).
  \label{eq:10}
\end{equation}

Может оказаться, что $y_2 = y_1$ и, соответственно, $-P = P$. Это возможно, если
вертикальная прямая, проходящая через $P$, касается кривой $E$ в точке $P$.

Рассмотрим, как вычисляется сумма двух различных точек $P_1 = (x_1, y_1)$ и
$P_2 = (x_2, y_2)$ на эллиптической кривой. Предположим, что $P_1, P_2 \neq
\mathcal{O}$ и $P_1 \neq \pm P_2$. Тогда $x_1 \neq x_2$. Пусть $l$ --- прямая,
проходящая через точки $P_1$ и $P_2$. Уравнение $l$ имеет вид
\begin{equation}
  y = \alpha x + \beta.
  \label{eq:11}
\end{equation}

Коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ --- решения системы.
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    y_1 = \alpha x_1 + \beta, \\
    y_2 = \alpha x_2 + \beta.
  \end{cases}
\end{equation*}

Тогда
\begin{align*}
  \alpha &= \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}, \\
  \beta &= y_1 - \alpha x_1 = y_2 - \alpha x_2.
\end{align*}

Прямая $l$ пересекает эллиптическую кривую $E$ в некоторой третьей точке
$Q = -(P_1 + P_2) = (\widetilde{x_3}, \widetilde{y_3})$.

Подставляя (\ref{eq:11}) в уравнение Вейерштрасса, получаем
\begin{equation*}
  (\alpha x + \beta)^2 + (\alpha x + \beta) (a_1 x + a_3) - (x^3 + a_2 x^2 +
  a_4 x + a_6) = 0.
\end{equation*}

Кубическое уравнение
\begin{equation*}
  -x^3 + (\alpha^2 + a_1 \alpha - a_2) x^2 + (2 \alpha \beta + a_3 \alpha + a_1
  \beta - a_4) x + (\beta^2 + a_3 \beta - a_6) = 0
\end{equation*}
имеет три корня: $x_1, x_2, \widetilde{x_3}$.

По теореме Виета
\begin{equation*}
  x_1 + x_2 + \widetilde{x_3} = \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2.
\end{equation*}

Таким образом,
\begin{equation*}
  \begin{cases}
    \widetilde{x_3} = -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2, \\
    \widetilde{y_3} = \alpha \widetilde{x_3} + \beta = (y_1 - \alpha x_1) +
    \alpha \widetilde{x_3} = y_1 - \alpha(x_1 - \widetilde{x_3})
  \end{cases}
\end{equation*}

Получаем, $P_1 + P_2 = -Q = -(\widetilde{x_3}, \widetilde{y_3})$, используя
(\ref{eq:10}), находим
\begin{equation*}
  P_1 + P_2 = (x_3, y_3),
\end{equation*}
где
\begin{equation}
  \begin{cases}
    x_3 = -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2, \\
    y_3 = -y_1 + \alpha (x_1 - x_3) - a_1 x_3 - a_3.
  \end{cases}
\end{equation}

\begin{example}
  На рисунке 15 представлен типичный случай сложения точек $P_1$ и $P_2$. Чтобы
  найти $P_1 + P_2$, проводим прямую $\overline{P_1 P_2}$ и в качестве $P_1 + P_2$
  берём точку, симметричную относительно оси $x$ третьей точке, определяемой
  пересечением прямой $\overline{P_1 P_2}$ и кривой.

  %% TODO: рис 2 (15)
\end{example}

Найдём правило вычисления удвоенной точки $P + P$. Будем предполагать, что
$P \neq -P$. Чтобы найти $P + P$, проведём касательную через точку $P$. Эта
прямая задаётся уравнением (\ref{eq:11}).

Для нахождения углового коэффициента касательной $\alpha$ нужно найти полнй
дифференциал от полинома $f(x, y)$, задающего кривую в форме Вейерштрасса
(2). Получим
\begin{equation} %% TODO: другое \delta
  df(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy.
\end{equation}