% Лекция 9 (23.10.23) Угловой коэффициент касательной равен \begin{equation*} \alpha = \frac{dy}{dx} \end{equation*} Имеем $f'_x dx = -f'_y dy,\, \frac{dy}{dx} = -\frac{f'_x}{f'_y}$. Поэтому угловой коэффициент касательной равен \begin{equation} \alpha = \frac{3 x_1^2 + 2 a_2 x_1 + a_4 - a_1 y_1}{2 y_1 + a_1 x_1 + a_3} \label{eq:13} \end{equation} Таким образом, удвоенная точка также вычисляется по формулам (\ref{eq:12}), но с $\alpha$, найденным по (\ref{eq:13}). \begin{example} Рассмотрим эллиптическую кривую $y^2 = x^3 - 12x$. Пусть $x_1 = x_2 = 6$, тогда $y_1 = y_2 = 12$. \begin{align*} \alpha &= \frac{3 x_1^2 + 2 a_2 x_1 + a_4 - a_1 y_1}{2 y_1 + a_1 x_1 + a_3} = \frac{3 \cdot 6^2 - 12}{2 \cdot 12} = 4 \\ \beta &= y_1 - \alpha x_1 = 12 - 4 \cdot 6 = -12 \end{align*} Таким образом, касательная, проходящая через точку $P_1 = P_2 = (6, 12)$ имеет вид $y = 4x - 12$. В результате $P_1 + P_2 = 2 P_1 = P_3 = (x_3, y_3)$, где \begin{align*} x_3 &= -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2 = -6 - 6 + 4^2 = 4 \\ y_3 &= -y_1 + \alpha (x_1 - x_3) - a_1 x_3 - a_3 = -12 + 4 (6 - 4) = -4 \end{align*} %% TODO: рис 1 \end{example} %% TODO: рис 2 \begin{theorem}[Группа точек эллиптической кривой] Пусть $F$ --- поле, $E/F$ --- эллиптическая кривая. Тогда для любого расширения $K$ поля $F$ относительно введённой выше операции <<$+$>> множество $E(K)$ образует абелеву группу. Операция сложения задаётся по следующим правилам: \begin{enumerate} \item для любой точки $P \in E$ верно $P + \mathcal{O} = \mathcal{O} + P = P$; \item для любой точки $P = (x, y) \neq \mathcal{O}$ точка $-P$ находится по формуле \[ -P = (x, -y - a_1 x - a_3); \] \item для любых точек $P_1 = (x_1, y_1) \neq \mathcal{O}$, $P_2 = (x_2, y_2) \neq \mathcal{O}$ сумма точек $P_1 + P_2 = P_3 = (x_3, y_3)$ задаётся следующими формулами: \begin{enumerate} \item если $P_2 = -P_1$, то $P_3 = \mathcal{O}$; \item если $P_2 \neq -P_1$, то \begin{equation} \begin{cases} \alpha = \begin{cases} \frac{3x_1^2 + 2a_2 x_1 + a_4 - a_1 y_1}{2y_1 + a_1 x_1 + a_3}, &\text{если } x_1 = x_2, \\ \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}, &\text{если } x_1 \neq x_2, \end{cases} \\ x_3 = -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2, \\ y_3 = -y_1 + \alpha (x_1 - x_3) - a_1 x_3 - a_3. \end{cases} \label{eq:14} \end{equation} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{theorem} \begin{corollary}[Об операции сложения в группе точек эллиптической кривой над полем характеристики $> 3$] Для кривой, заданной уравнением (\ref{eq:8}), формулы (\ref{eq:14}) принимают упрощённый вид: \begin{equation} \begin{cases} \alpha = \begin{cases} \frac{3 x_1^2 + a}{2y_1}, &\text{если } x_1 = x_2, \\ \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}, &\text{если } x_1 \neq x_2, \end{cases} \\ x_3 = -x_1 - x_2 + \alpha^2, \\ y_3 = -y_1 + \alpha (x_1 - x_3). \end{cases} \label{eq:15} \end{equation} Кроме того, противоположная к $P = (x, y)$ точка равна $-P = (x, -y)$. Порядком точки $P$ на эллиптической кривой называется такое наименьшее натуральное число $N$, что $NP = \mathcal{O}$. \end{corollary} Такого конечного $N$ может не существовать. Часто требуется найти точки конечного порядка на эллиптической кривой. \begin{example} Найти порядок точки $P = (0, -3)$ на эллиптической кривой $y^2 = x^3 + 9$. Применяя (\ref{eq:15}), находим, что $2P = (0, 3)$, получаем $2P = -P$, откуда $3P - \mathcal{O}$. Итак, $P$ имеет порядок 3. \end{example} \emph{Гиперэллиптической кривой} над полем $F$ называется аффинная кривая, задаваемая уравнением $y^2 + h(x) y = f(x)$ и не имеющая особых точек на аффинной плоскости над $\overline{F}$, где $h$, $f$ --- полиномы с коэффициентами из $F$, $\deg(f) = 2g + 1$, $\deg(h) \leq g$. Натуральное число $g$ называется \emph{родом кривой}. Эллиптическую кривую можно рассматривать как гиперэллиптическую кривую рода 1. Алгебраическая формула (\ref{eq:14}) для сложения точек на эллиптической кривой имеет смысл над любым полем. \paragraph{Изогении.} Пусть $E_1$ и $E_2$ --- эллиптические кривые. \emph{Изогенией} из $E_1$ в $E_2$ называется морфизм $\varphi : E_1 \to E_2$, удовлетворяющий условию $\varphi(\mathcal{O}) = \mathcal{O}$. Две эллиптические кривые $E_1$ и $E_2$ \emph{изогенны}, если существует изогения из $E_1$ до $E_2$ с $\varphi(E_1) \neq \set{\mathcal{O}}$. Изогения эллиптических кривых является отношением эквивалентности. Эллиптические кривые являются абелевыми группами, поэтому отображения между ними образуют группы. Обозначим множество изогений из $E_1$ в $E_2$ через \begin{equation*} \fn{Hom}(E_1, E_2) = \set{\text{изогении } E_1 \to E_2} \end{equation*} Сумма двух изогений определяется формулой \begin{equation*} (\varphi + \psi)(P) = \varphi(P) + \psi(P), \end{equation*} также $\varphi + \psi$ --- морфизм, поэтому это изогения. Следовательно, $\fn{Hom}(E_1, E_2)$ --- группа. Если $E_1 = E_2$, то можно также составить изогении. Таким образом, если $E$ --- эллиптическая кривая, то \begin{equation*} \fn{End}(E) = \fn{Hom}(E, E) \end{equation*} является кольцом, закот сложения которого указан выше, а умножение --- это композиция \begin{equation*} (\varphi \psi)(P) \equiv \varphi(\psi(P)). \end{equation*} Также имеет место дистрибутивный закон. Кольцо $\fn{End}(E)$ называется \emph{кольцом эндоморфизмов} эллиптической кривой $E$. Обратимые элементы кольца $\fn{End}(E)$ образуют группу автоморфизмов $E$ которая обозначается $\fn{Aut}(E)$. \begin{example} Для каждого $m \in \Z$, изогения умножения на $m$ обозначается \begin{align*} [m] &: E \to E \\ [m]P &= \underbrace{P + P + \dots + P}_m \end{align*} при $m < 0$ полагают $[m]P = [-m](-P)$ и $[0]P = \mathcal{O}$. $[m]$ --- морфизм, а значит, изогения, поскольку он явно переводит $\mathcal{O}$ в $\mathcal{O}$. Пусть $E$ --- эллиптическая кривая, $m \in \Z, m \geq 1$. \emph{Подгруппа} $m$-кручения $E$, обозначаемая $E[m]$, --- это множество точек $E$ порядка $m$: \begin{equation*} E[m] = \set{P \in E : [m]P = \mathcal{O}}. \end{equation*} \emph{Подгруппа кручения $E$}, обозначаемая $E_{tors}$, представляет собой множество точек конечного порядка: \begin{equation*} E_{tors} = \bigcup_{m = 1}^\infty E[m]. \end{equation*} \end{example} Если $E$ определено над $F$, то $E_{tors}(F)$ обозначает точки конечного порядка в $E(F)$. Пусть $F$ --- поле характеристики $p > 0$, $q = p^r$ и $E/F$ --- эллиптическая кривая, заданная уравнением Вейерштрасса (\ref{eq:2}). Кривая $E^{(q)}/f$ определяется возведением коэффициентов уравнения для $E$ в степень $q$, морфизм Фробениуса $\varphi_q$ определяется как \begin{equation*} \varphi_q : E \to E^{(q)}, (x, y) \to (x^q, y^q) \end{equation*} $E^{(q)}$ является гладкой эллиптической кривой, $\Delta(E^{(q)}) = \Delta(E)^q$ и $j(E^{(q)}) = j(E)^q$. Так как $F$ --- конечное поле с $q$ элементами, тогда отображение $q$-й степени на $F$ является тождественным, поэтому $E^{(q)} = E$ и $\varphi_q$ является эндоморфизмом $E$, называемым \emph{эндоморфизмом Фробениуса}. Множество точек, зафиксированных $\varphi_q$, (точки с координатами из поля $F$ остаются неподвижными) есть в точности конечная группа $E(\mathbb{F}_q)$. Этот факт лежит в основе доказательства теоремы Хассе об оценке количества $\mathbb{F}_q$-рациональных точек эллиптической кривой $E$.