% Лекция 9 (23.10.23)

Угловой коэффициент касательной равен
\begin{equation*}
  \alpha = \frac{dy}{dx}
\end{equation*}

Имеем $f'_x dx = -f'_y dy,\, \frac{dy}{dx} = -\frac{f'_x}{f'_y}$.

Поэтому угловой коэффициент касательной равен
\begin{equation}
  \alpha = \frac{3 x_1^2 + 2 a_2 x_1 + a_4 - a_1 y_1}{2 y_1 + a_1 x_1 + a_3}
  \label{eq:13}
\end{equation}

Таким образом, удвоенная точка также вычисляется по формулам (\ref{eq:12}),
но с $\alpha$, найденным по (\ref{eq:13}).

\begin{example}
  Рассмотрим эллиптическую кривую $y^2 = x^3 - 12x$.

  Пусть $x_1 = x_2 = 6$, тогда $y_1 = y_2 = 12$.

  \begin{align*}
    \alpha &= \frac{3 x_1^2 + 2 a_2 x_1 + a_4 - a_1 y_1}{2 y_1 + a_1 x_1 + a_3}
    = \frac{3 \cdot 6^2 - 12}{2 \cdot 12} = 4 \\
    \beta &= y_1 - \alpha x_1 = 12 - 4 \cdot 6 = -12
  \end{align*}

  Таким образом, касательная, проходящая через точку $P_1 = P_2 = (6, 12)$
  имеет вид $y = 4x - 12$.
  
  В результате $P_1 + P_2 = 2 P_1 = P_3 = (x_3, y_3)$, где
  \begin{align*}
    x_3 &= -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2 = -6 - 6 + 4^2 = 4 \\
    y_3 &= -y_1 + \alpha (x_1 - x_3) - a_1 x_3 - a_3 = -12 + 4 (6 - 4) = -4
  \end{align*}

  %% TODO: рис 1
\end{example}

%% TODO: рис 2

\begin{theorem}[Группа точек эллиптической кривой]
  Пусть $F$ --- поле, $E/F$ --- эллиптическая кривая. Тогда для любого
  расширения $K$ поля $F$ относительно введённой выше операции <<$+$>> множество
  $E(K)$ образует абелеву группу. Операция сложения задаётся по следующим
  правилам:
  \begin{enumerate}
    \item
      для любой точки $P \in E$ верно $P + \mathcal{O} = \mathcal{O} + P = P$;
    \item
      для любой точки $P = (x, y) \neq \mathcal{O}$ точка $-P$ находится по
      формуле \[ -P = (x, -y - a_1 x - a_3); \]
    \item
      для любых точек $P_1 = (x_1, y_1) \neq \mathcal{O}$, $P_2 = (x_2, y_2)
      \neq \mathcal{O}$ сумма точек $P_1 + P_2 = P_3 = (x_3, y_3)$ задаётся
      следующими формулами:
      \begin{enumerate}
        \item если $P_2 = -P_1$, то $P_3 = \mathcal{O}$;
        \item если $P_2 \neq -P_1$, то
          \begin{equation}
            \begin{cases}
              \alpha = \begin{cases}
                \frac{3x_1^2 + 2a_2 x_1 + a_4 - a_1 y_1}{2y_1 + a_1 x_1 + a_3},
                &\text{если } x_1 = x_2, \\
                \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}, &\text{если } x_1 \neq x_2,
              \end{cases} \\
              x_3 = -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2, \\
              y_3 = -y_1 + \alpha (x_1 - x_3) - a_1 x_3 - a_3.
            \end{cases}
            \label{eq:14}
          \end{equation}
      \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{corollary}[Об операции сложения в группе точек эллиптической кривой над
  полем характеристики $> 3$]
  Для кривой, заданной уравнением (\ref{eq:8}), формулы (\ref{eq:14}) принимают
  упрощённый вид:
  \begin{equation}
    \begin{cases}
      \alpha = \begin{cases}
        \frac{3 x_1^2 + a}{2y_1}, &\text{если } x_1 = x_2, \\
        \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}, &\text{если } x_1 \neq x_2,
      \end{cases} \\
      x_3 = -x_1 - x_2 + \alpha^2, \\
      y_3 = -y_1 + \alpha (x_1 - x_3).
    \end{cases}
    \label{eq:15}
  \end{equation}
  Кроме того, противоположная к $P = (x, y)$ точка равна $-P = (x, -y)$.

  Порядком точки $P$ на эллиптической кривой называется такое наименьшее
  натуральное число $N$, что $NP = \mathcal{O}$.
\end{corollary}

Такого конечного $N$ может не существовать. Часто требуется найти точки
конечного порядка на эллиптической кривой.

\begin{example}
  Найти порядок точки $P = (0, -3)$ на эллиптической кривой $y^2 = x^3 + 9$.

  Применяя (\ref{eq:15}), находим, что $2P = (0, 3)$, получаем $2P = -P$, откуда
  $3P - \mathcal{O}$. Итак, $P$ имеет порядок 3.
\end{example}

\emph{Гиперэллиптической кривой} над полем $F$ называется аффинная кривая,
задаваемая уравнением $y^2 + h(x) y = f(x)$ и не имеющая особых точек
на аффинной плоскости над $\overline{F}$, где $h$, $f$ --- полиномы с
коэффициентами из $F$, $\deg(f) = 2g + 1$, $\deg(h) \leq g$.

Натуральное число $g$ называется \emph{родом кривой}. Эллиптическую кривую
можно рассматривать как гиперэллиптическую кривую рода 1.

Алгебраическая формула (\ref{eq:14}) для сложения точек на эллиптической
кривой имеет смысл над любым полем.

\paragraph{Изогении.}

Пусть $E_1$ и $E_2$ --- эллиптические кривые. \emph{Изогенией} из $E_1$ в
$E_2$ называется морфизм $\varphi : E_1 \to E_2$, удовлетворяющий условию
$\varphi(\mathcal{O}) = \mathcal{O}$. Две эллиптические кривые $E_1$ и $E_2$
\emph{изогенны}, если существует изогения из $E_1$ до $E_2$ с $\varphi(E_1) \neq
\set{\mathcal{O}}$.

Изогения эллиптических кривых является отношением эквивалентности.

Эллиптические кривые являются абелевыми группами, поэтому отображения между
ними образуют группы. Обозначим множество изогений из $E_1$ в $E_2$ через
\begin{equation*}
  \fn{Hom}(E_1, E_2) = \set{\text{изогении } E_1 \to E_2}
\end{equation*}

Сумма двух изогений определяется формулой
\begin{equation*}
  (\varphi + \psi)(P) = \varphi(P) + \psi(P),
\end{equation*}
также $\varphi + \psi$ --- морфизм, поэтому это изогения.

Следовательно, $\fn{Hom}(E_1, E_2)$ --- группа. Если $E_1 = E_2$, то можно также
составить изогении. Таким образом, если $E$ --- эллиптическая кривая, то
\begin{equation*}
  \fn{End}(E) = \fn{Hom}(E, E)
\end{equation*}
является кольцом, закот сложения которого указан выше, а умножение --- это
композиция
\begin{equation*}
  (\varphi \psi)(P) \equiv \varphi(\psi(P)).
\end{equation*}

Также имеет место дистрибутивный закон. Кольцо $\fn{End}(E)$ называется
\emph{кольцом эндоморфизмов} эллиптической кривой $E$.

Обратимые элементы кольца $\fn{End}(E)$ образуют группу автоморфизмов $E$
которая обозначается $\fn{Aut}(E)$.

\begin{example}
  Для каждого $m \in \Z$, изогения умножения на $m$ обозначается
  \begin{align*}
    [m] &: E \to E \\
    [m]P &= \underbrace{P + P + \dots + P}_m
  \end{align*}
  при $m < 0$ полагают $[m]P = [-m](-P)$ и $[0]P = \mathcal{O}$.

  $[m]$ --- морфизм, а значит, изогения, поскольку он явно переводит
  $\mathcal{O}$ в $\mathcal{O}$.

  Пусть $E$ --- эллиптическая кривая, $m \in \Z, m \geq 1$. \emph{Подгруппа}
  $m$-кручения $E$, обозначаемая $E[m]$, --- это множество точек $E$ порядка
  $m$:
  \begin{equation*}
    E[m] = \set{P \in E : [m]P = \mathcal{O}}.
  \end{equation*}
  \emph{Подгруппа кручения $E$}, обозначаемая $E_{tors}$, представляет собой
  множество точек конечного порядка:
  \begin{equation*}
    E_{tors} = \bigcup_{m = 1}^\infty E[m].
  \end{equation*}
\end{example}

Если $E$ определено над $F$, то $E_{tors}(F)$ обозначает точки конечного порядка
в $E(F)$. Пусть $F$ --- поле характеристики $p > 0$, $q = p^r$ и $E/F$ ---
эллиптическая кривая, заданная уравнением Вейерштрасса (\ref{eq:2}).

Кривая $E^{(q)}/f$ определяется возведением коэффициентов уравнения для $E$ в
степень $q$, морфизм Фробениуса $\varphi_q$ определяется как
\begin{equation*}
  \varphi_q : E \to E^{(q)}, (x, y) \to (x^q, y^q)
\end{equation*}

$E^{(q)}$ является гладкой эллиптической кривой, $\Delta(E^{(q)}) = \Delta(E)^q$
и $j(E^{(q)}) = j(E)^q$.

Так как $F$ --- конечное поле с $q$ элементами, тогда отображение $q$-й степени
на $F$ является тождественным, поэтому $E^{(q)} = E$ и $\varphi_q$ является
эндоморфизмом $E$, называемым \emph{эндоморфизмом Фробениуса}.

Множество точек, зафиксированных $\varphi_q$, (точки с координатами из поля $F$
остаются неподвижными) есть в точности конечная группа $E(\mathbb{F}_q)$.

Этот факт лежит в основе доказательства теоремы Хассе об оценке количества
$\mathbb{F}_q$-рациональных точек эллиптической кривой $E$.
