% Лекция 10 (07.11.22)

\begin{example}\hfill
  \begin{enumerate}
    \item
      Любая группа является также и квазигруппой, так как $$a \cdot x = b \iff x
      = a^{-1} \cdot b,\, y \cdot a = b \iff y = b \cdot a^{-1}$$
    \item Целые числа $\Z$ с операцией вычитания ($-$) являются квазигруппой.
  \end{enumerate}
\end{example}

С алгебраической точки зрения буква $a_k$ есть результат применения к буквам
$a_i$ и $a_j$ квазигрупповой операции $\cdot$, табличным заданием которой
является латинский квадрат $L : a_k = a_i \cdot a_j$.

% FIXME: Убрать 8.1?
В случае шифра Виженера квазигруппа $(A, \cdot)$ является группой $(Z_n, +)$.
При этом уравнение шифрования имеет вид $$b_i = (a_i + \gamma_i) \pmod{n} \quad
(8.1),$$ а $\gamma_i$ представляет собой периодическую последовательность,
образованную повторением некоторого ключевого слова.

Наряду со сложением используется и вычитание знаков гаммы. Соответствующие
уравнения шифрования принимают вид $$b_i = (a_i - \gamma_i) \pmod{n} \quad
(8.2)$$ или $$b_i = (\gamma_i - a_i) \pmod{n} \quad (8.3)$$

Шифры гаммирования с уравнениями шифрования (8.1)--(8.3) называют \emph{шифрами
модульного гаммирования}.

\paragraph{О равновероятной гамме.}
Рассмотрим Основные идеи анализа на примере шифра с уравнением (8.1). Занумеруем
буквы алфавита $A$ числами от $0$ до $n - 1$. Пусть $p_i, r_i, s_i$ ---
вероятности появления знака $i$ в открытом тексте, гамме и в криптограмме
соответственно.

Тогда задание вероятностных распределений на знаках открытого текста и гаммы
индуцирует распределение вероятностей знаков шифротекста по формуле:
\begin{equation*}
  s_j = \sum_{i = 0}^{n - 1} p_{((j - i) \pmod{n})} \cdot r_i \quad (8.4)
\end{equation*}
при этом $$\sum_{j = 0}^{n - 1} s_j = 1.$$

Из формулы (8.4) следует, что если $r_i = \frac{1}{n}$ при всех $i =
\overline{0, n - 1}$, то $s_j = \frac{1}{n}$ при всех $j = \overline{0, n - 1}$.

Это означает, что при зашифровании открытого текста равновероятной гаммой
получается шифротекст, вероятностные свойства которого не отличаются от самой
равновероятной гаммы, что не даёт криптоаналитику использовать диаграмму
повторяемости букв открытого текста.

\section{Надёжность шифров}

\subsection{Энтропия языка}

Выдающиеся результаты в применении математических методов в криптографии
принадлежат Клоду Шеннону (1916--2001).

\emph{Энтропия} определяется функцией от вероятностного распределения и
характеризуется количеством неопределённости или информации в случайном
эксперименте.

К.~Шеннон предложил формулу <<прирост информации = устранённой
неопределённости>>, на основании которой неопределённости и информация должны
измеряется одной и той же мерой.

К такому выводу можно прийти на примере эксперимента с монетой.

Если монета дефектна и всегда выпадает орёл, то нет никакой неопределённости и
при этом при проведении эксперимента мы не получим никакой информации (мы заранее
знали о его исходе, количество информации равно нулю).

Максимальные неопределённость и количество получаемой информации будет в случае,
когда <<орёл>> и <<решка>> равновероятны.

Пусть независимые испытания случайной величины $\xi$ с распределением
вероятностей $\xi = \begin{pmatrix}
  a_1 & \cdots & a_n \\
  p_1 & \cdots & p_n \\
\end{pmatrix}$, тогда энтропия $H(\xi)$ определяется формулой $$H(\xi) =
-\sum_{i = 1}^n p_i \cdot \log_2 p_i \quad (9.1)$$

Единицу измерения энтропии вероятностной схемы предлагает так называемая теорема
кодирования, утверждающая, что любой исход можно закодировать символами 0 и 1
так, что полученная длина кодового слова будет сколь угодно близка сверху к
$H(\xi)$.

На основании этого единицей количества информации считают 1 бит. Например,
количество информации, полученное при бросании монеты равно 1 бит, так как
орёл можно закодировать единицей, решку --- нулём.

Если $p_i = \frac{1}{n}$ при всех $i = \overline{1, n}$, то $H_0 = H(\xi)
= \log_2 n$. Под $H_0 = \log_2 n$ понимается абсолютная энтропия языка ---
величина, равная максимуму информации, которую можно передать единицей данного
языка (данная величина не учитывает возможную непроизносимость полученных
<<слов>>).

В общем случае $H(\xi) \geq 0$, причём $H(\xi) = 0$ в том и только том случае,
когда $p_i = 1$ для некоторого $i$ и $p_j = 0$ для всех $j \neq i$.

Мерой среднего количества информации, приходящейся на одну букву открытого
текста языка $\Lambda$ служит величина $H_\Lambda$, называемая \emph{энтропией}
языка $\Lambda$.

Вычисляется она последовательными приближениями: $H_0, H_1$, где $H_1$ ---
энтропия позначной модели открытого текста, то есть величина (9.1), в которой
$p_i$ совпадает с вероятностью появления буквы $a_i$ в открытом тексте.

Для английского языка $H_0 \approx 4.70, H_1 = H(\xi) \approx 4.14$.

Энтропия языка $H_\Lambda$ языка $\Lambda$ определяется как $$H_\Lambda =
\lim_{r \to \infty} \frac{H_r}{r}$$ где $H_r$ --- энтропия вероятностной схемы
на $r$-граммах (для осмысленных текстов $\frac{H_r}{r}$ --- угадывание $r$-й
буквы текста при условии, что предшествующие буквы известны).

При этом формула $R_\Lambda = 1 - \frac{H_\Lambda}{\log_2 n}$ определяет
\emph{избыточность языка $\Lambda$}.

Например, русский язык имеет избыточность 72.6\%, что означает, что при
оптимальном кодировании текста (например, код Фано) его можно сжать практически
до четверти длины без потери информации.

\subsection{Расстояние единственности}

Попытки определения истинного ключа шифра по данной криптограмме путём её
расшифрования на всех возможных ключах могут привести к тому, что критерий на
открытый текст примет несколько претендентов за открытый текст.

Найдём оценку для числа ложных ключей.

\emph{Условная энтропия} --- это величина, характеризующая степень
неопределённости в предсказании исхода эксперимента, если известен исход
некоторого другого эксперимента.

Пусть имеются дискретные величины $\xi$ и $\eta$, заданные вероятностными
распределениями $P(\xi), P(\eta)$.

Для них можно вычислить совместное распределение $P(\xi, \eta)$ и условные
распределения $P(\xi/y), P(\eta/x)$ для любых фиксированных значений $x \in \xi,
y \in \eta$.

Тогда условная энтропия $H(\xi/y)$ определяется формулой:
\begin{equation*}
  H(\xi/y) = -\sum_{x \in \xi} p(x/y) \cdot \log_2 p(x/y)
\end{equation*}

% FIXME: Перенумеровать?
Усреднённая (по всем $y \in \eta$) величина $H(\xi/y)$ называется \emph{условной
энтропией двух вероятностных определений}:
\begin{equation*}
  H(\xi/\eta) = -\sum_{y \in \eta} \sum_{x \in \xi} p(y) \cdot p(x/y) \cdot
  \log_2 p(x/y) \quad (9.2)
\end{equation*}

Величина (9.2) измеряет среднее количество информации $\xi$, обнаруживаемое с
помощью $\eta$.

Известно, что $H(\xi/\eta) \leq H(\xi)$, причём $H(\xi/\eta) = H(\xi) \iff \xi,
\eta$ --- независимые случайные величины.

% TODO: Какой индекс у \Sigma?
Условная энтропия $H(K/Y)$ называется \emph{неопределённостью шифра $\Sigma_B$
по ключу}. Она измеряет среднее количество информации о ключе, которую даёт
криптограмма. Аналогично вводится \emph{неопределённость шифра по открытому
тексту $H(X/Y)$}. Эти величины являются мерой теоретической стойкости шифра.
Идеально является ситуация, когда $H(X/Y) = H(X)$.

В этом случае шифр можно назвать \emph{идеальным} или \emph{совершенным}, то
есть такой шифр не даёт криптоаналитику никакой дополнительной информации об
открытом тексте при изучении перехваченной криптограммы.

Связь между энтропиями компонент шифра даёт формула для неопределённости шифра
по ключу: $$H(K/Y) = H(X) + H(K) - H(Y)$$.
