% Лекция 3 (19.09.22)
\subsection{Алгебраические структуры}

Множество R с двумя бинарными ассоциативными операциями сложения "+" и умножения
"$\cdot$" называется \textbf{кольцом}, если выполнены следующие условия:
\begin{enumerate}
  \item
    множество R с бинарной операцией сложения является абелевой группой
    (нейтральный элемент кольца называют \emph{нулём} кольца и обозначают через
    0)
  \item
    операция "*" удовлетворяет условию дистрибутивности относительно операции
    "+" то есть \((a + b) * c = a * c + b * c\) и \(a * (b + c) = a * b + a *
    c\)
\end{enumerate}

Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативным. Пример
--- множество \(Z_n\), образующее полную систему вычетов целых чисел по модулю
\(n\) с операциями сложения и умножения по модулю \(n\), причём это кольцо
является коммутативным.

Кольцо вычетов \(Z_4\):

\_+4\_| 0 1 2 3
----+--------
0   | 0 1 2 3
1   | 1 2 3 0
2   | 2 3 0 1
3   | 3 0 1 2

\_*4\_| 0 1 2 3
----+--------
0   | 0 1 2 3
1   | 1 2 3 0
2   | 2 3 0 1
3   | 3 0 1 2

x  | 0 1 2 3
---+--------
-x | 0 3 2 1


Если в кольце существует элемент 1 такой, что \(g \cdot 1 = 1 \cdot g =
g\) (нейтральный элемент относительно умножения), такое кольцо называется
\emph{кольцом с единицей}.

\emph{Полем} называется коммутативное кольцо с единицей, отличной от нуля, в
котором любой ненулевой элемент обратим.

Кольцо вычетов целых чисел по модулю \(Z_n\) является полем в том и только том
случае, когда \(n\) --- простое число.

Поля вычетов являются конечными полями. Конечные поля называются \emph{полями
Галуа}.


\subsection{Открытые сообщения}
\label{sec:orga0e3510}

\subsubsection{Характеристики}
\label{sec:org72d8f1b}

\begin{itemize}
  \item
    Открытый и шифрованные тексты представляют собой последовательности символов,
    взятых из конечного набора, называемого \emph{алфавитом}.
  \item Элемент алфавита называется \emph{буквой}.
  \item Число символов алфавита называется \emph{мощностью} алфавита.
\end{itemize}

Примеры --- Алфавиты:
\begin{enumerate}
  \item \(A_1\) --- алфавит прописных букв, \(|A_1| = 33\) : А, Б, В, \dots{}, Э, Ю, Я
  \item
    \(A_2\) --- прописные и строчные буквы, целые числа, пробел и знаки
    препинания (мощность алфавита примерно равна 84): А, Б, В, \dots{}, Э, Ю, Я,
    а, б, в,
  \dots{}, э, ю, я, \dots{}, 0, 1, \dots{}, 9, пробел, запятая, точк, :, ;, ", ?, !.
  \item \(A_3\) --- элементы множества \(\{0, 1\}\).
\end{enumerate}

В основном используются производные от \(A_3\) алфавиты, совпадающие с
множеством \(V_n\) двоичных n-мерных векторов.

Мощность алфавитов равна \(2^n\), и, как правило, \(5 \leq n \leq 8\).

Часто в процессе шифрования наз символами алфавита производятся вычислительные
действия, поэтому удобно их представлять в виде чисел или двоичных наборов.

Рассмотрим в качестве алфавита \(Z_m = \{ 0, 1, \dots, m - 1 \}\)

Всякий текст, записанный в некотором алфавите имеет \emph{длину}, равную числу
букв в соответствующей записи.

Последовательность \(k\) соседних букв текста, \(k \geq 2\), называется \$k\$-граммой (при
\(k = 2\) --- биграммой и т.д.).

Помимо алфавита \(Z_m\) могут рассматриваться производные от него алфавиты \(Z_m(t)\)
представляющие собой набор всевозможных $t$-грамм исходного алфавита.

\subsubsection{Детерминированные модели открытых текстов}

Каждый источник открытых сообщений порождает тексты в соответствии с правилами
грамматики некоторого языка, что находит отражение и в статистических
характеристиках сообщений.

Всякий язык и всякий источник открытых сообщений можно характеризовать
разбиением множества всех $k$-грамм, \(k = 2, 3, \dots\), на \emph{допустимые}
(встречающиеся в каких-либо текстах) и \emph{запрещённые} (не встречающиеся
ни в каких текстах), что определяет \emph{детерминированную модель} источника
открытых сообщений.

В такой модели открытый текст рассматривается как последовательность букв
некоторого алфавита, не содержащая запретных $k$-грамм.

\subsubsection{Вероятностные модели открытых текстов}

В вероятностных моделях источник открытых сообщений рассматривается как источник
случайных последовательностей.

Пусть источник генерирует в алфавите \(Z_m\) текст конечной или бесконечной
длины, в результате чего получается последовательность случайных переменных
\(x_1, x_2, \dots, x_{n - 1}, \dots\), принимающих значения в \(Z_m\).

\emph{Вероятность случайного сообщения} \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\)
определяется как вероятность такой последовательности событий: $$P(a_0, a_1,
\dots, a_{n - 1}) = P(x_0 = a_0, x_1 = a_1, \dots, x_{n - 1} = a_{n - 1})$$

Множество случайных сообщений образует вероятностное пространство, если
выполнены условия:
\begin{enumerate}
  \item
    \(P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) \geq 0\) для любого случайного сообщения
    \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\).
  \item
    \(\displaystyle\sum_{(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})} P(a_0, a_1, \dots, a_{n -
    1}) = 1\)
  \item
    для любого случайного сообщения \((a_0, a_1, \dots, a_{n - 1})\), и любого
    \(s > n\) \(P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \sum_(a_n, \dots, a_{s - 1})
    P(a_0, a_1, \dots, a_{s - 1})\), то есть вероятность всякого случайного
    сообщения \(n\) есть сумма вероятностей всех продолжения этого сообщения до
    длины \(s\).
\end{enumerate}

Текст, порождаемый таким источником, является вероятностным аналогом языка. Он
обладает одинаковыми с языком частотными характеристиками $k$-грамм. Задавая
определённое вероятностное распределение на множестве открытых текстов, задаётся
соответствующая модель источника открытых сообщений.

Например, в модели стационарного источника независимых символов алфавита
(\emph{позначная модель открытых текстов}) предполагается, что вероятности
сообщений полностью определяются вероятностями использования отдельных букв
алфавита в случайном тексте

$$P(a_0, a_1, \dots, a_{n - 1}) = \prod_{i = 0}^{n - 1} P(x_i = a_i)$$

где для всех \(i \in {0, 1, \dots, n - 1}\) и любого \(a \in Z_m P(x_i = a) >
0\); \(\sum_{a \in Z_m} P(x_i = a) = 1\).

Открытый текст такого источника является реализацией последовательности
независимых испытаний в полиномиальной вероятностной схеме с числом исходов,
равным \(m\).

Множество исходов взаимнооднозначно соответствует множеству всех символов
алфавита.

Частота букв в разных языках:
\begin{itemize}
  \item \emph{Русский язык}: О (11\%), И (8.9\%), Е, А, Н, Т
  \item \emph{Английский язык}: E (12.86\%), T (9.72\%), A, I, N, R
\end{itemize}

Эта модель эффективно используется для дешифрования текстов, защищаемых шифром
простой замены.

Самые частые биграммы:
\begin{itemize}
  \item \emph{Русский язык}: СТ (1.74\%), НО (1.29\%), ЕН, ТО, НА
\end{itemize}

Наиболее частые триграммы:
\begin{itemize}
  \item \emph{Русский язык}: СТО, ЕНО, НОВ, ТОВ, ОВО
\end{itemize}

Информация, которую реально несёт каждая буква сообщения меньше, чем её
максимальная информация при случайном и равновероятном появлении.

В связи с ним возник термин "избыточность языка".

Поэтому часть букв открытого текста можно опустить без потери содержания
потерянная информация будет восстановлена другими буквам сообщения вследствие
закономерностей языка.
