% Лекция 6 (10.10.22)

палец -> ЕПЦЛА
волна -> НВАЛО
Ключ: 41532

Если предположить, что две конкретные буквы в одном из сообщений идут один
за другой в открытом тексте, то буквы, стоящие на тех же местах в каждом из
остальных сообщений, соединяются подобным же образом.

Значит, они могут служить проверкой правильности первого предположения.

К каждому из указанных двубуквенных сочетаний можно добавить третью букву
для образования триграммы и так далее.

Если располагать не менее чем 4 сообщениями одинаковой длины, то можно с
уверенностью гарантировать их вскрытие подобным образом.

Если ключ зашифрования совпадает с ключом расшифрования, то такие шифры называют
\emph{симметричными}, иначе --- \emph{асимметричными}.

\subsection{(1.6) Шифры простой замены}

\subsubsection{(1) \emph{Шифр замены}}

\emph{Шифр замены} --- шифр, при котором фрагменты открытого текста (отдельные
буквы или группы букв) заменяются некоторыми их эквивалентами в криптограмме.

Определим модель \(\Sigma_A = (X, K, Y, E, D)\) произвольного шифра замены.

Будем считать, что открытые и шифрованные тексты являются словами в алфавитах A
и B соответственно. \(X \subset A^*, \, Y \subset B^*, \, |A| = n, \, |B| = m\).

Перед зашифрованием открытый текст предварительно представляется в виде
последовательностей подслов, называемых \emph{шифровеличинами} (слова из
\(A^*\)).

При зашифровании шифрвеличины заменяются некоторыми их эквивалентами в
шифртексте, которые называются \emph{шифробозначениями} (слова из \(B^*\)).

Пусть
\(U = (u_1, \dots, u_N)\) --- множество возможных шифрвеличин.
\(V = (v_1, \dots, v_N)\) --- множество возможных шифробозначений.
При этом \(N \geq n, \, M \geq m, \, M \geq N\).

Для определения правила зашифрования \(E_k(x)\) в общем случае понадобится ряд
обозначений и понятие \emph{распределителя}, который, по сути, и будет выбирать
в каждом такте шифрования замену соответствующей шифровеличине.

Поскольку \(M \geq N\), множество \(V\) можно представить в виде объединения \(V
= \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}\) непересекающихся непустых подмножеств \(V^{(i)}\).

Рассмотрим произвольное семейство, состоящее из \(r\) таких разбиений множества
\(V\): $$V = \cup_{i = 1}^{N} V^{(i)}_\alpha, \, \alpha = \overline{1, r}, \,
r \in N,$$ и соответствующее семейство биекций: $$\varphi_\alpha : U \to \{
V^{(1)}_\alpha, \dots, V^{(N)}_\alpha \},$$ для которых \(\varphi_\alpha (u_i) =
V^{(i)}_\alpha, \, i = \overline{1, N}\).

Рассмотрим также произвольное отображение \(\psi : K \times \mathbb{N} \to
\mathbb{N}^*_r\), где \(\mathbb{N}_r = \{ 1, 2, \dots, r \}\), такое, что для
любых \(k \in K, \, l \in \mathbb{N}\) $$\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l,
\, a^{(k)}_j \in \mathbb{N}_r, \, j = \overline{1, l}$$

Последовательность \(\psi(k, l)\) называется \emph{распределителем}, отвечающим
данным значениям \(k \in K,\, l \in \mathbb{N}\).

Теперь можно определить правило зашифрования произвольного шифра замены. Пусть
$$x \in X, x = x_1 \dots x_l, x_i \in U, i = \overline{1, l}, k \in K, \quad
\psi(k, l) = a^{(k)}_1 \dots a^{(k)}_l$$

Тогда \(E_k(x) = y\), где \(y = y_1 \dots y_l, y_j \in
\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j), j = \overline{1, l} \quad (1) !!!\).

В качестве \(y_j\) можно выбрать любой элемент множества
\(\varphi_{\alpha^{(k)}}(x_j)\).

Всякий раз при шифровании этот выбор можно производить случайно, например, с
помощью некоторого \emph{рандомизатора} типа игровой рулетки.

Для однозначных шифров замены, у которых правило дешифрования \(E_k(x)\)
является однозначной функцией, например, шифр гаммирования, справедливо свойство
$$\forall \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha| = 1$$ для многозначных шифров замены,
например, шифров пропорциональной замены: $$\exists \alpha, i : |V^{(i)}_\alpha|
> 1$$

Далее будем заниматься в основном изучением однозначных замен, получивших
наибольшее практическое применение.

Итак, далее \(M = N\) и \(\varphi_\alpha(u_i) = v^{(i)}_\alpha, i = \overline{1,
M}\).

Для шифра однозначной замены определение правила зашифрования можно
уточнить в формуле (1) включение следует заменить равенством $$y_j =
\varphi_{\alpha_j^{(k)}} (x_j), j = \overline{1, l} \quad (1')$$

Если для некоторого числа \(q \in N\) выполняются включения \(v_i \in B^q, i
= \overline{1, N}\), то соответствующий шифр замены называется \emph{шифром
равнозначной замены}, в противном случае --- \emph{шифром разнозначной замены}.

В подавляющем большинстве случаев используются шифры замены, для которых \(U \in
A^p\) для некоторого \(p \in \mathbb{N}\).

При \(p = 1\) говорят о \emph{поточных шифрах замены}, при \(p > 1\) --- о
\emph{блочных шифрах замены}.

В случае \(r = 1\) шифр замены называют \emph{одноалфавитным шифром замены}
или \emph{шифром простой замены}. В противном случае --- \emph{многоалфавитным
шифром замены}.

\subsubsection{(2) Одноалфавитные однозначные замены называются \emph{шифрами простой замены}.}

Введём шифр простой замены в алфавите \(A\).

Пусть \(X = Y = \cup_{i = 1}^L A^i, \, K \subseteq S(A)\), где \(S(A)\) ---
симметрическая группа подстановок множества \(A\).

Для любого ключа \(k \in K\), открытого текста \(x = (x_1, \dots, x_l)\)
и шифрованного текста \(y = (y_1, \dots, y_i)\) правила зашифрования и
расшифрования шифра простой замены в алфавите \(A\) определяются формулами:
\begin{align*}
  E_k(x) &= (k(x_1), \dots, k(x_1)), \\
  D_k(x) &= (k^{-1}(y_1), \dots, k^{-1}(y_1)),
\end{align*}
где \(k^{-1}\) --- подстановка, обратная к \(k\).

Например, в рассказе Артура Конана Дойля "Пляшущие человечки", бандит Аб Слени
использовал шифр, где заменялись схематическими человеческими фигурками в разных
позах, при этом каждая поза этих человечков является отдельной буквой.

\subsubsection{(3) Лозунговый шифр}

При этом методе осуществляется посимвольная замена букв открытого текста на
буквы шифроалфавита, который совпадает с алфавитом открытых текстов.

В первой строке шифровальной таблицы записывается алфавит языка открытых
текстов.

Во второй, начиная с некоторого места записывается лозунг (пароль).

Затем на оставшихся местах второй строки, начиная с места следующего за паролем,
записывается полный алфавит с пропуском тех букв, которые встречаются в пароле.

Закончив движение по строке, возвращаемся в её начало, процесс продолжается.

\emph{ПРИМЕР!!!}

\subsubsection{(4) Шифр простой неравнозначной замены}

Пример --- шифр Марк.

\emph{ПРИМЕР!!!}

Буквы, стоящие во второй строке таблицы при шифровании заменяются стоящими над
ними, остальные буквы --- двузначными числами "строка-столбец".

\subsubsection{(5) Анализ шифров простой замены}

(а) Методы вскрытия шифра простой однобуквенной замены.

(а) Методы вскрытия шифра простой однобуквенной замены основан на том, что с
точностью до переобозначений частотные характеристики $m$-грамм криптограммы и
открытого текста одинаковы.

При этом используются частотные характеристики предполагаемого открытого текста,
полученные с учётом "характера переписки".
