\subsection{Лекция 2 (09.09.21)}

\subsubsection{Частотное представление периодических сигналов}

\textbf{ЗАМЕНИТЬ $l$ на $e$ !!!}

Рассмотрим детерминированный сигнал. В качестве базисной функции примем
$\phi(t) = e^{Pt}, \quad P = \pm j \omega$. Такое представление
функции базисных сигналов будет называться преобразованием Фурье.
Удобно: - применяя формулу Эйлера данное представление даёт возможность
представить в виде суммы гармоник. Формула Эйлера:
\[\cos \omega t = \frac{ e^{j \omega t} + e^{-j \omega t} }{ 2 }\]

Предположим, что функция $u(t)$, которой описывается детерминируемый
сигнал реализуется на интервале $[t_1; t_2]$ и удовлетворяет условию
Дирихле. \emph{Условие Дирихле} означает, что функция непрерывна или
имеет конечное число точек разрыва первого рода, а также имеет конечное
число экстремумов. Определим период повторения функции как $T = t_2 - t_1$, при
этом предполагая, что функция продолжается на всём интервале времени.
Тогда формула сигнала $u(t)$ будет иметь следующий вид: \[
\begin{cases}
    u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty} A(j k \omega) e^{j k \omega_1 t} \\
    A(j k \omega_1) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j k \omega_1 t} dt
\end{cases}
\], а период вычисляется как \[T = t_2 - t_1 = \frac{2 \pi}{\omega_1}\]. 
A\_j\_k называют комплексным спектром периодического сигнала $u(t)$, а
значение этой функции для каждого конкретного $k$ будут называться
\emph{комплексной амплитудой}.

Пусть $k \omega_1 = \omega$ то есть для данного комплексного спектра мы
попробуем построить огибающую. Тогда
\[ A(j \omega) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j \omega t} dt \]

Показательная форма:
\[ A(j k \omega_1) = A(k \omega_1) e^{j \phi(k \omega_1)} \] Функция
$A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $e^{j \phi(k \omega_1)}$ ---
спектр фаз. \textbf{Оба они дискретны}. Вторая форма:
\[ A(j k \omega_1) = A_k - j B_k \]
\[ A_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \cos(k \omega_1 t) dt \]
\[ B_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \sin(k \omega_1 t) dt \]
Отсюда видно, что \[ A(j \omega_1) = \sqrt{A_k^2 + B_k^2} \]
\[ \phi(k \omega_1) = \arctan \left( \frac{B_k}{A_k} \right) \] Если в
данных формулах положить $k = 0$, то получится равенство для
постоянной (огибающей) составляющей сигнала:
\[ \frac{A_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) dt \]

Отсюда:
\[ u(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^{\infty} A(k \omega_1) \cos (k \omega_1 t - \phi(k \omega_1))\]

Спектр амплитуд $A (k \omega_1)$ и спектр фаз $\phi (k \omega_1)$ согласно данному представлению могут быть
представлены в виде совокупности линий, каждая из которых соответствует
определённой частоте. Поэтому эти спектры называют \emph{линейчатыми}.
Сигналы, линейчатые спектры которых включают гармоники некоторых частот,
которые не кратны, называют \emph{почти периодическими}.

Согласно этому представлению построим распределение энергии в спектре
периодического сигнала.

\subsubsection{Распределение энергии в спектре периодических сигналов}

Пусть имеется период $T$, сигнал периодический. Тогда распределение энергии в спектре
периодических сигналов будет определятся интегралом:
\[\int_{0}^{T} |u(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} \left| \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) \right|^2 dt = \]
\[
= \frac{A_0^2}{4} \int_{0}^{T} dt + 
\left( 
\frac{A_0}{2} \sum_{k=1}^{\infty} A(jk\omega_1) \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt + \frac{A_0}{2} \sum_{k = 1}^\infty A(-j k \omega_1) \int_0^T e^{-j k\omega_1 t} dt +
\right) \]
\[ + \frac{1}{2} \sum_k \sum_l A(j k \omega_1) A(-j l \omega_1) \int_0^T e^{j k \omega_1 t} e^{-j k \omega_1 t} dt\]

\[ \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt = \int_0^T e^{-j k \omega_1 t} dt = 0 \]
Эти два интеграла будут равны 0, если $k$

\[ \int_0^T e^{j \omega_1 t (k - l)} dt = \begin{cases}
    T, k = l \\
    0, k \neq l
\end{cases}\]

В результате этого у нас останется
\[ \int_0^T |u(t)|^2 dt = \frac{A_0^2}{2} * \frac{T}{2} + \frac{T}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} | A(j k \omega_1) |^2 \]

Вывод: согласно данному представлению получаем, что средняя за период
энергия будет равна сумме средних энергий, выделяемых каждой гармоникой.

\subsubsection{Частотное представление непериодических сигналов}

Предположим, что соответствующая реальному непериодическому сигналу
$u(t)$ удовлетворяет условию Дирихле и абсолютно интегрируема. Тогда
спектральное представление непериодического сигнала $u(t)$ можно строить
путём увеличения периода периодического сигнала до бесконечности.

С учётом того, что использовался период $\frac{2\pi}{\omega_1}$ будет
иметь представление:
\[ u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty} \left( \frac{\omega_1}{\pi} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j k \omega_1 t} dt \right) e^{jk \omega_1 t} \]

Осуществим предельный переход, при этом $T \to \infty$. При этом сумма
перейдёт в интеграл, $\omega_1 = \Delta \omega \to d \omega$,
$k\omega_1 \to \omega$. В результате этих преобразований $u(t)$
Будет иметь вид:
\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} ( \int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt) e^{j \omega t} d\omega \]

Обозначим за $S(j\omega)$ выражение $\int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt$, получим:
\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
\[ S(j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) e^{-j\omega t} dt \]

Эта пара называется парой преобразования Фурье для непериодического
сигнала.

Функция $S (j\omega)$ называется комплексной спектральной плотностью или
спектральной характеристикой непериодического сигнала. По аналогии с
период сигналом, спектральная характеристика имеет следующие два представления: Показательная
форма: \[ S(j \omega) = S(\omega) e^{-j\phi(\omega)} \] 

$S(\omega)$ -- спектральная плотность амплитуд, Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\omega)}$.

Построим алгебраическую форму:

\[ e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j \sin(\omega t)\]
\[ S(j \omega) = A(\omega) - j B(\omega) \], где
\[ A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \cos(\omega t) dt \]
\[ B(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \sin(\omega t) dt \]

При этом $S(j \omega)$ будет представлена через \[ S(\omega) = \sqrt{|A(\omega)|^2 + |B(\omega)|^2} \]
\[ \phi(\omega) = \arctan \frac{B(\omega)}{A(\omega)} \]

\ldots{}

\[ S(\omega) = |S(j \omega)| \]

\ldots{}

\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{j(\omega t - \phi(\omega))} d\omega =
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty S(\omega) \cos(\omega t) - \phi(\omega)) d\omega + j \int_{-\infty}^\infty S(\omega) * \sin(\omega t * \phi(\omega) d \omega) \]

Второй интеграл будет = 0 в силу четности, а первый в силу \ldots{} можно записать только ???. Таким образом мы получим
тригонометрическую форму ряда фурье.
\[ u(t) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty S(\omega) \cos(\omega t - \phi(\omega)) d\omega \]

Если ограничить функцию $u(t)$ интервалом времени от $t1$ до $t2$, то можно записать функцию

\[ S(j \omega) = \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j\omega t} dt \]

Обращаясь к предыдущим вычислениям, получим \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} S(j \omega) \]

Если у непериодического сигнала взять единичный импульс, можно построить
линейчатый спектр его периодической последовательности.

\subsubsection{Распределение энергии в спектре непериодического сигнала}

Выражение для величины, характеризующей энергию для \ldots{} запишем след образом:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} |u(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega ) dt = \]
\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) (\int_{-\infty}^\infty u(t) e^{j \omega t} dt) d\omega = \]
\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(j\omega) S(-j\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |S(j\omega)|^2 d\omega \]

Согласно равенству Персиваля
\[ = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty |S(j \omega)|^2 d\omega \] В соответствии с
этим равенством энергия выделяемая непериодическим сигналом за всё время
его существования можно определить, интегрируя квадрат модуля
спектральной характеристики в интервале частот.

Определим соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра.
Предположим, что сигнал $u(t)$ имеет определённую продолжительность и
имеет спектральную характеристику $S(j\omega)$. Увеличим длительность
сигнала в некоторую $\lambda$ раз и найдём соответствущую
спектральную характеристику
\[ S_\lambda (j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(\lambda t) e^{-j \omega t} dt = \]
Пусть есть некоторое $\tau = \lambda t$. Тогда
\[ = \frac{1}{\lambda} \int_{-\infty}^\infty u(\tau) e^{-j \omega \tau / \lambda} d\tau = \frac{1}{\lambda} S(j \frac{\omega}{\lambda}) \]

Из данного равенства видно, что спектр удлиннённого или укороченного в
$\lambda$ раз будет в $\lambda$ уже или шире, при этом коэффициент в
$\frac{1}{\lambda}$ изменяет только амплитуды гармоник и не влияет на
ширину спектра. Это связано с тем, что переменные $t$ и $\omega$
находятся в показателе степени экспоненциальной функции как прямого преобразования
Фурье, так и обратного. Из этого следует, что длительность сигнала и
ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными
интервалами. В частности, имеет место соотношение
$\Delta t : \Delta f = const$, где $\Delta t$ --- длительность
импульса, а $\Delta f$ --- ширина.

