\subsection{Лекция 4 (23.09.21)} \subsubsection{Частотное представление стационарных сигналов. Дискретные спектры.} Предположим, что случайный процесс задан на интервале $[-T; T]$. Тогда соответствующая ему корреляционная функция $R_u(\tau)$ должна рассматриваться на интервале \ldots{} . При этом должно выполняться равенство $\tau \in [-2T; 2T]$. Будем считать корреляционную функцию $R_u(\tau)$ условно продолжающейся с периодом $4T$. Тогда для неё можно записать пару преобразований Фурье: \begin{equation*} R_u(\tau) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty D_k e^{jk\omega_1 \tau} \end{equation*} Где \begin{equation*} D_k = \frac{1}{2T} \int_{-2T}^{2T} R_u(\tau) e^{-jk\omega_1 \tau} d\tau \end{equation*} и \begin{equation*} \omega_1 = \frac{2\pi}{4T} = \frac{\pi}{2T} \end{equation*} Учитывая то, что корреляционная функция является функцией чётной, то $D_k$ можно представить на полупериоде, то \begin{equation*} D_k = \frac{1}{2T} \int_{0}^{2T} R_u(\tau) e^{-jk\omega_1 \tau} d\tau \end{equation*} Пусть $\tau = t_1 - t_2$. Тогда корелляционная функция будет представляться следующим образом: \begin{equation*} R_u(t_1 - t_2) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty D_k e^{jk\omega_1 t_1} e^{-jk\omega_1 t_1} \end{equation*} Сравнивая с данным разложением корелляционной функции с каноническим разложением кореляционной функции можно заметить, что $\phi_k(t_1)$ и $\phi_k(t_2)$ будут представляться через экспоненциальные функции. $\phi_k(t_1) = e^{jk\omega_1 t_1}$, $\phi_k(t_2) = e^{-jk\omega_1 t_2}$ Возьмём соответствующее этому каноническое разложение центрированного случайного процесса, то есть \begin{equation*} U^o (t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty C_k e^{jk\omega_1 t} \end{equation*} добавим для обобщения мат ожидание стационарного случайного процесса. В результате при объединении экспоненциальных составляющих с одинаковыми по абсолютной величине индексами разных знаков стационарный случайный процесс на ограниченном интеравале времени будет представляться суммой гармоник. То есть \begin{equation*} U(t) = m_u + \sum_k (a_k \cos (\omega_1 t) + b_k \sin(\omega_1 t))) \end{equation*} где $\omega_1 = \frac{\pi}{2T}$, $m_u$ --- мат ожидание стационарного процесса, $a_k$ и $b_k$ --- неслучайные величины. Эта форма показывает, что получившиеся спектры являются линейчатыми, то есть каждой гармонике на спектральной диаграмме будет соответствовать вертикальный отрезок, длина которого пропорциональна дисперсии амплитуд. \#\#\# Частотное представление стационарных случайных сигналов. Непрерывные спектры. Для описания случайного стационарного сигнала возьмём интервал $(-\infty; \infty)$ и построим его интегральное каноническое разложение. Для этого немного изменим для кореляционной функции. \begin{equation*} R_u(\tau) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty \frac{D_k}{\Delta \omega} e^{jk\omega_1 \tau} \Delta \omega \end{equation*} Где $\Delta \omega$ --- шаг по частоте и он равен $\omega_{k + 1} - \omega_k = \frac{\pi}{2T}$. \ldots{} характеризующий интервал частот между соседними гармониками. Обозначим через \begin{equation*} S_u(k \omega_1) = \frac{D_k}{\Delta \omega} = \frac{2T D_k}{\pi} \end{equation*} Функция $S_u(k \omega_1)$ будет называться \textbf{средней плотностью дисперсии стационарного процесса}. По сути своей данная функция является дисперсией, которая приходится на единицу длины частотного интервала. С учётом сделанных обозначений формула для кореляции будет иметь следующий вид: \begin{equation*} R_u(\tau) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty S_u(k\omega_1) e^{jk\omega_1 \tau} \Delta \omega \end{equation*} С учётом \ldots{} можем записать в следующем виде \begin{equation*} S_u(k \omega_1) = \frac{1}{\pi} \int_{-2T}^{2T} R_u(\tau) e^{-jk\omega_1 \tau} d\tau \end{equation*} Осуществим предельный переходи при $t \to \infty$. Получим: $S_u(k \omega_1) \to S_u(\omega)$, $k\omega_1 \to \omega$, $\Delta \omega \to d\omega$ Тогда получим для кореляции: \begin{equation*} \begin{cases} R_u(\tau) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty S_u(\omega) e^{j\omega\tau} d\omega \\ S_u(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_{-infty}^\infty R_u(\tau) e^{-j\omega\tau} d\tau \end{cases} \end{equation*} Величина $S_u(\omega) d\omega$ по смыслу \ldots{} представляет собой дисперсию, приходящуюся на спектр частот Функция $S_u(\omega)$ характеризует распределение дисперсии случайного процесса по частотам и называется \emph{спектральной плотностью стационарного случайного процесса}. Аналогично вышеизл мат. если мы для кореляционной функции применим каноническое разложение, то получим следующую формулу: \begin{equation*} R_u(\tau) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty S_u(\omega) e^{j\omega\tau_1} e^{-j\omega\tau_2} d\omega \end{equation*} Согласно данному каноническому представлению дисперсии построим каноническое распределение случайного процесса. Для этого \begin{equation*} U^o(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty \frac{C_k}{\Delta \omega} e^{jk\omega_1 t} \Delta \omega \end{equation*} Введём обозначение $G_u(\omega_k) = \frac{C_k}{\Delta \omega}$ и осуществим предельный переход. Тогда центрированный случайный процесс будет иметь следующий вид: \begin{equation*} U^o(t) = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty G_u(\omega) e^{j\omega t} d\omega \end{equation*} В силу сделанных обозначений очевидно, что функция $G_u(\omega) d\omega$ является случайной функцией с дисперсией $S_u(\omega) d\omega$ приходящейся на спектральную составляющую . \subsubsection{Спектральная плотность мощности.} Перейдём к одностороннему спектру для положительных частот. Для функции $S_u(\omega)$ применим формулу Эйлера и представим её \ldots{} \begin{equation*} S_u(\omega) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty R_u(\tau) \cos(\omega \tau) d\tau - \frac{j}{\pi} \int_{-\infty}^\infty R_u(\tau) \cdot \sin (\omega \tau) d\tau \end{equation*} В силу чётности \ldots{} а первый интеграл мы можем записать для положительных частот: \begin{equation*} S_u(\omega) = \frac{2}{\pi} \int_0^\infty R_u(\tau) \cos(\omega \tau) d \tau \end{equation*} Отсюда следует, что $S_u(\omega)$ также является действительной и чётной функцией, а след. таким же образом мы можем ограничить и корел. функиц. \begin{equation*} R_u(\tau) = \int_0^\infty S_u(\omega) \cos(\omega\tau) d\omega \end{equation*} Если в данном выражении $\tau$ положить $0$, то мы получим формулу для дисперсии. \begin{equation*} R_u(0) = D_k = \int_0^\infty S_u(\omega) d\omega \end{equation*} Соответственно дисперсия будет характеризовать мощность сигнала, поэтому функцию $S_u(\omega)$ называют \emph{спектральной плотностью мощности}. \subsubsection{Преобразование непрерывных сигналов в дискретные.} \paragraph{Формулировка задачи дискретизации} Дискретизация сигнала --- это первообразные функции непрерывного аргумента в функцию дискретного времени. То есть дискретизация заключается в замене непрерывного сигнала $U(t)$ совокупностью координат $[c_1, c_2, \dots, c_n] = A[u(t)]$, где $A[.]$ --- некоторый оператор. С точки зрения простоты реализации целесообразно использовать линейные операторы, в частности для определения координат сигнала удобно использовать соотношение \begin{equation*} C_i = A[u(t)] = \int_T \phi_i(t) u(t) dt \quad (1) \end{equation*} Где $\phi_i(t)$ --- набор базисных функций (как правило ортогональных). При последующем использовании дискретного сигнала для цели управления им обычно осуществляется его восстановление с использованием другого заданного оператора: \begin{equation*} U^*(t) = B[c_1, c_2, \dots, c_n] \end{equation*} Если у нас дискретизация осуществлялась помощью оператора (1), то для восстановления будет использован следующий оператор: \begin{equation*} U^*(t) = \sum_{i = 1}^N c_i \phi_i(t) \end{equation*} Следует отметить \ldots{} в следствии применения операции интегрирования будет обладать высокой помехоустойчивостью, но при этом будет иметь место задержка сигнала на интервал интегрирования $T$, поэтому наиболее часть дискретизация сводится к замене сигнала совокупностью его мгновенных значений в отведённые моменты времени. При этом эта совокупность будет называться \textbf{выборкой мгновенных значений}. Это достигается использованием дельта-функций в качестве набора базисных функций. В результате получится некоторая решётчатая функция с координатами $c_i = u(t_i)$. При этом если шаг дискретизации будет постоянным, то дискретизация будет называться \textbf{равномерной}. При восстановлении таких непрерывных сигналов для обеспечения простоты реализации широго применяются неортогональные базисные функции, в частности используются степенные алгебраические полиномы. Восстановленный сигнал будет в этом случае: \begin{equation*} U^*(t) = \sum_{i = 0}^N a_i t^i \end{equation*} Представление непрерывного сигнала некоторой совокупностью равноотстоящих отсчётов является наиболее распространённым способом дискретизации. Обычно она осуществляется для дальнейшего преобразования сигнала в цифорвую форму. В результате цифрового кодирования дискретного сигнала происходит его квантование, то есть замена в соответствующие моменты времени мгновенных значений ближайшими разрешёнными. При этом сигнал оказывается дискретным как по множеству значений, так и по времени. Преимуществом такого представления сигнала состоит в том, что множество уровней квантования можно представить небольшим количеством разрядов. Кроме того при цифровом представлении сигнала для его обработки могут быть использованы сложные алгоритмы, в том чистле алгоритм поиска и исправления ошибок при передаче.