% Лекция (14.10.21)
\begin{enumerate}
  \item 
    Критерий равномерного приближения
    $$\max_{t \in T} |u(t) - u^*(t)| \leq \xi_{\text{доп}}$$
    $$sup_{u_i(t) \in U} |u_i(t) - u^*_i(t)| \leq \xi_\text{доп}$$
  \item
    Критерий среднеквадратичного отклонения
    $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{T} \int_T|u(t) - u^*(t)|^2 dt} \leq \sigma_\text{доп}$$
    $$\sigma_\Sigma = \Sigma_{i = 1}^N$$
  \item
    Интегральный критерий
    $$\varepsilon = \frac{1}{T} \int_T |u(t) - u^*(t)| dt$$

    Интегральный критерий для ансамбля вычисляют путём усреднения по ансамблю.
  \item
    Допустимый уровень вероятности того, что ошибка не превысит допустимое значение

\end{enumerate}

Использование каждого из критериев будет зависеть от требований, предъявляемых к системе.

\subsection{Теорема Котельникова}
Как отмечалось ранее, наиболее широкое применение имеет линейная дискретизация,
при этом для выбора величины шага дискретизации используется модель сигнала в
виде эргодического случайного процесса, при этом каждая реализация которого
представляет собой функцию с ограниченным спектром. Теоретической основой для
такого подходя является теорема Котельникова.

\begin{theorem}[Теорема Котельникова]
  Любая функция $u(t)$, допускающая преобразование Фурье и имеющая непрерывный
  спектр, ограниченная полосой частот $[0; \frac{\omega}{2\pi}]$ полностью
  определяется дискретным рядом своих мгновенных значений, отсчитанный через
  интервал времени $\Delta t = \frac{1}{2f_c} = \frac{\pi}{\omega}$
\end{theorem}
\begin{proof}
  Поскольку по предложению теоремы функция $u(t)$ имеет ограниченный спектр, то
  есть $S(j \omega) = 0 \quad \omega > \omega_c$, то функцию $u(t)$ мы можем
  записать следующим видом:

  \begin{equation*}
    u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega
  \end{equation*}

  Тогда функцию $S(j \omega)$ на интервале $[-\omega_c; \omega_c]$ можно
  разложить в ряд Фурье.

  Тогда пару преобразования Фурье запишем, полагая, что $S(j\omega)$ условно
  продолжающаяся с периодом $2\omega_c$.

  \begin{equation*}
    \begin{cases}
      S(j\omega) = \frac{1}{2} \sum_{-\infty}^\infty H_k e^{jk\omega \Delta t} \\
      A_k = \frac{1}{\omega_c} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-jk \Delta t \omega} d\omega
    \end{cases}
  \end{equation*}

  Используя данную пару преобразования Фурье, предварительно предположив, что
  $t_k = k \Delta t$, будет иметь следующий вид:
  \begin{equation*}
    u(k \Delta t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{jk\Delta t \omega} d \omega
  \end{equation*}

  \begin{equation*}
    A_k = \frac{2\pi}{\omega_c} u(-k \Delta t)
  \end{equation*}

  \begin{equation*}
    S(j\omega) = \frac{\pi}{\omega_c} \sum u(-k \Delta t) e^{jk \Delta t \omega}
  \end{equation*}

  В последнем равенстве знак - перед $k$ мы можем поменять на обратный, так 
  как суммирование ведётся как по положительным, так и по отрицательным числам.
  Подставив ... получим:
  \begin{equation*}
    u(t) = \frac{1}{2\omega_c} \int_{-\infty}^\infty |\sum_{-\infty}^\infty u(k\Delta t) e^{-j k \Delta t \omega}|
  \end{equation*}

  Проинтегрировав последнюю часть данного равенства получим следующую функцию.
  \begin{equation*}
    u(t) = \sum_{-\infty}^\infty u(k \Delta t) \frac{\sin \omega_c (t - k\Delta t)}{\omega_c (t - k \Delta t)}
  \end{equation*}

  Таким образом мы выразили функцию $u(t)$ через её дискретные значения взятые в моменты
  $k \Delta t$. Предположим, что время $t$ будет выражаться как $n \Delta t, \quad n \in \N$.
  Тогда $\omega_c(n\Delta t - k \Delta t) = \omega_c \Delta t (n - k)$.

  Так как $\Delta t = \frac{\pi}{\omega_c} \implies \omega_c \Delta t (n - k) = (n - k) \pi$

  Таким образом, данная часть функции будет равна единице, если $t = k \Delta t$. 
  И 0, если $t = n \Delta t, \, n \neq k$. Это означает, что функция $u(t)$
  в момент времени $[t_k; k \Delta t]$ представляет собой ни что иное, как
  отсчёты. То есть функция ограничена спектром и может быть представлена рядом,
  коэффициенты которого представляют собой отсчёты значения функции взятые через
  интервал времени $\Delta t$
\end{proof}

На основании этой теоремы строится общая схема приёма и передачи сигнала. на
передающей стороне мгновенные значения сигнала передаются через интервал времени
$\Delta t = \frac{\pi}{\omega_c}$, на принимающей стороне последовательность
импульсов пропускается через идеальный фильтр с частотой среза
$\frac{\omega_c}{2\pi}$. Тогда при длительной передаче на выходе фильтров будет
точное воспроизведение переданного непрерывного сигнала.

В реальности сигнал всегда имеет конечную длину и, следовательно, его спектр не
ограничен. При этом ошибка возникает не только из-за искусственного ограничения
спектра, но и из-за конечного числа отсчётов, которые в соответствии с теоремой
будут вычисляться как $N = 2 f_c T$. При этом представление сигнала с
ограниченным спектром исключает возможность сигнала переносить информацию.


\section{Квантование сигнала}

Физически реализуемые непрерывный сигнал всегда ограничен диапазон $[u_{min};
u_{max}]$. В добавок устройство может воспроизводить лишь конечное число
значений сигнала из этого диапазона, в частности, вся непрерывная шкала
амплитудных  значений может быть разита на $N$ одинаковых сигналов. А
разрешённые значения равноотстоять друг от друга. Тогда мы можем говорить о
равномерном квантовании. Если же постоянная интервала не соблюдается, то
квантование будет неравномерно, а соответственно постоянная будет

Из множества мгновенных значений принадлежащих $i$-му шагу квантования только
одно значение $u(t)$ является разрешённым, а любые другие округляются до него.

Пусть имеется равномерное с шагом $\Delta = \frac{|u_{max} - u_{min}|}{n}$
И предположим, что при данном равномерном квантовании уровни квантования $u_i$
размешаются ровно в середине каждого шага. Тогда ошибка квантования будет минимальная
и не будет превышать $0.5 \Delta$. При этом среднеквадратичная ошибка квантования
будет определяться следующим образом:
\begin{equation*}
  \sigma_i = \sqrt{\int_{u_{i-1}}^{u_i} (u(t) - u_i)^2 p(u) du}
\end{equation*}

где $p(u)$ --- функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала $u$.

Если шаг квантования сигнала мал по сравнению с диапазоном значения, то в
пределах каждого шага плотность вероятности можно считать постоянной и равной
величине $P(u_i)$. Тогда данную ошибку можно написать следующим образом:
\begin{equation*}
  \sigma_i = \sqrt{P(u_i) \frac{\Delta_i^2}{12}}
\end{equation*}

С учётом того, что плотность вероятности $p(u_i) > 0$ и $\Delta_i > 0$
для всех $i = 1, n$ можно записать дисперсию ошибки квантования, которая будет равна
\begin{equation*}
  \sigma_i^2 = p(u_i) \frac{\Delta_i^2}{12}
\end{equation*}

Дисперсия полной ошибки квантования будет определяться как мат ожидание 
дисперсии на каждом шаге квантования и будет равна $\sigma^2 = \frac{\Delta^2}{12}$

Если на квантуемый сигнал воздействует помеха, то он может попасть в интервал
соответствующий другому уровню квантования и соответственно предсказать сигнал
будет невозможно.