% Лекция (14.10.21) \begin{enumerate} \item Критерий равномерного приближения $$\max_{t \in T} |u(t) - u^*(t)| \leq \xi_{\text{доп}}$$ $$sup_{u_i(t) \in U} |u_i(t) - u^*_i(t)| \leq \xi_\text{доп}$$ \item Критерий среднеквадратичного отклонения $$\sigma = \sqrt{\frac{1}{T} \int_T|u(t) - u^*(t)|^2 dt} \leq \sigma_\text{доп}$$ $$\sigma_\Sigma = \Sigma_{i = 1}^N$$ \item Интегральный критерий $$\varepsilon = \frac{1}{T} \int_T |u(t) - u^*(t)| dt$$ Интегральный критерий для ансамбля вычисляют путём усреднения по ансамблю. \item Допустимый уровень вероятности того, что ошибка не превысит допустимое значение \end{enumerate} Использование каждого из критериев будет зависеть от требований, предъявляемых к системе. \subsection{Теорема Котельникова} Как отмечалось ранее, наиболее широкое применение имеет линейная дискретизация, при этом для выбора величины шага дискретизации используется модель сигнала в виде эргодического случайного процесса, при этом каждая реализация которого представляет собой функцию с ограниченным спектром. Теоретической основой для такого подходя является теорема Котельникова. \begin{theorem}[Теорема Котельникова] Любая функция $u(t)$, допускающая преобразование Фурье и имеющая непрерывный спектр, ограниченная полосой частот $[0; \frac{\omega}{2\pi}]$ полностью определяется дискретным рядом своих мгновенных значений, отсчитанный через интервал времени $\Delta t = \frac{1}{2f_c} = \frac{\pi}{\omega}$ \end{theorem} \begin{proof} Поскольку по предложению теоремы функция $u(t)$ имеет ограниченный спектр, то есть $S(j \omega) = 0 \quad \omega > \omega_c$, то функцию $u(t)$ мы можем записать следующим видом: \begin{equation*} u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \end{equation*} Тогда функцию $S(j \omega)$ на интервале $[-\omega_c; \omega_c]$ можно разложить в ряд Фурье. Тогда пару преобразования Фурье запишем, полагая, что $S(j\omega)$ условно продолжающаяся с периодом $2\omega_c$. \begin{equation*} \begin{cases} S(j\omega) = \frac{1}{2} \sum_{-\infty}^\infty H_k e^{jk\omega \Delta t} \\ A_k = \frac{1}{\omega_c} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-jk \Delta t \omega} d\omega \end{cases} \end{equation*} Используя данную пару преобразования Фурье, предварительно предположив, что $t_k = k \Delta t$, будет иметь следующий вид: \begin{equation*} u(k \Delta t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{jk\Delta t \omega} d \omega \end{equation*} \begin{equation*} A_k = \frac{2\pi}{\omega_c} u(-k \Delta t) \end{equation*} \begin{equation*} S(j\omega) = \frac{\pi}{\omega_c} \sum u(-k \Delta t) e^{jk \Delta t \omega} \end{equation*} В последнем равенстве знак - перед $k$ мы можем поменять на обратный, так как суммирование ведётся как по положительным, так и по отрицательным числам. Подставив ... получим: \begin{equation*} u(t) = \frac{1}{2\omega_c} \int_{-\infty}^\infty |\sum_{-\infty}^\infty u(k\Delta t) e^{-j k \Delta t \omega}| \end{equation*} Проинтегрировав последнюю часть данного равенства получим следующую функцию. \begin{equation*} u(t) = \sum_{-\infty}^\infty u(k \Delta t) \frac{\sin \omega_c (t - k\Delta t)}{\omega_c (t - k \Delta t)} \end{equation*} Таким образом мы выразили функцию $u(t)$ через её дискретные значения взятые в моменты $k \Delta t$. Предположим, что время $t$ будет выражаться как $n \Delta t, \quad n \in \N$. Тогда $\omega_c(n\Delta t - k \Delta t) = \omega_c \Delta t (n - k)$. Так как $\Delta t = \frac{\pi}{\omega_c} \implies \omega_c \Delta t (n - k) = (n - k) \pi$ Таким образом, данная часть функции будет равна единице, если $t = k \Delta t$. И 0, если $t = n \Delta t, \, n \neq k$. Это означает, что функция $u(t)$ в момент времени $[t_k; k \Delta t]$ представляет собой ни что иное, как отсчёты. То есть функция ограничена спектром и может быть представлена рядом, коэффициенты которого представляют собой отсчёты значения функции взятые через интервал времени $\Delta t$ \end{proof} На основании этой теоремы строится общая схема приёма и передачи сигнала. на передающей стороне мгновенные значения сигнала передаются через интервал времени $\Delta t = \frac{\pi}{\omega_c}$, на принимающей стороне последовательность импульсов пропускается через идеальный фильтр с частотой среза $\frac{\omega_c}{2\pi}$. Тогда при длительной передаче на выходе фильтров будет точное воспроизведение переданного непрерывного сигнала. В реальности сигнал всегда имеет конечную длину и, следовательно, его спектр не ограничен. При этом ошибка возникает не только из-за искусственного ограничения спектра, но и из-за конечного числа отсчётов, которые в соответствии с теоремой будут вычисляться как $N = 2 f_c T$. При этом представление сигнала с ограниченным спектром исключает возможность сигнала переносить информацию. \section{Квантование сигнала} Физически реализуемые непрерывный сигнал всегда ограничен диапазон $[u_{min}; u_{max}]$. В добавок устройство может воспроизводить лишь конечное число значений сигнала из этого диапазона, в частности, вся непрерывная шкала амплитудных значений может быть разита на $N$ одинаковых сигналов. А разрешённые значения равноотстоять друг от друга. Тогда мы можем говорить о равномерном квантовании. Если же постоянная интервала не соблюдается, то квантование будет неравномерно, а соответственно постоянная будет Из множества мгновенных значений принадлежащих $i$-му шагу квантования только одно значение $u(t)$ является разрешённым, а любые другие округляются до него. Пусть имеется равномерное с шагом $\Delta = \frac{|u_{max} - u_{min}|}{n}$ И предположим, что при данном равномерном квантовании уровни квантования $u_i$ размешаются ровно в середине каждого шага. Тогда ошибка квантования будет минимальная и не будет превышать $0.5 \Delta$. При этом среднеквадратичная ошибка квантования будет определяться следующим образом: \begin{equation*} \sigma_i = \sqrt{\int_{u_{i-1}}^{u_i} (u(t) - u_i)^2 p(u) du} \end{equation*} где $p(u)$ --- функция плотности вероятности мгновенных значений сигнала $u$. Если шаг квантования сигнала мал по сравнению с диапазоном значения, то в пределах каждого шага плотность вероятности можно считать постоянной и равной величине $P(u_i)$. Тогда данную ошибку можно написать следующим образом: \begin{equation*} \sigma_i = \sqrt{P(u_i) \frac{\Delta_i^2}{12}} \end{equation*} С учётом того, что плотность вероятности $p(u_i) > 0$ и $\Delta_i > 0$ для всех $i = 1, n$ можно записать дисперсию ошибки квантования, которая будет равна \begin{equation*} \sigma_i^2 = p(u_i) \frac{\Delta_i^2}{12} \end{equation*} Дисперсия полной ошибки квантования будет определяться как мат ожидание дисперсии на каждом шаге квантования и будет равна $\sigma^2 = \frac{\Delta^2}{12}$ Если на квантуемый сигнал воздействует помеха, то он может попасть в интервал соответствующий другому уровню квантования и соответственно предсказать сигнал будет невозможно.