\subsection{Лекция 2 (09.09.21)} \subsubsection{Частотное представление периодических сигналов} \textbf{ЗАМЕНИТЬ $l$ на $e$ !!!} Рассмотрим детерминированный сигнал. В качестве базисной функции примем $\phi(t) = l^{Pt}, \quad P = \pm j \omega$. Такое представление функции базисными сигналами будет называться преобразованием Фурье. Удобно: - применяя формулу Эйлера данное представление даёт возможность представить в виде суммы гармоний. Формула Эйлера: \[\cos \omega t = \frac{ l^{j\omega t} + l^{-j \omega t} }{ 2 }\] Предположим, что функция $u(t)$, которой описывается детерминируемый сигнал реализуется на интервали $[t_1; t_2]$ и удовлетворяет условию Дирихле. \emph{Условие Дирихле} означает, что функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода, а также имеет конечное число экстремумов. Определим период повторения $T = t_2 - t_1$. При этом предполагая, что функция продолжается на всём интервале времени. Тогда формула сигнала $u(t)$ будет иметь следующий вид: \[ \begin{cases} u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty A(j k \omega) l^{j k \omega_1 t} \\ A(j k \omega_1) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j k \omega t} dt \end{cases} \] A\_j\_k называют комплексным спектром данного сигнала $u(t)$, а значение этой функции для каждого конкретного $k$ будут называться \emph{комплексной амплитудой}. Пусть $k \omega_1 = \omega$ то есть для данного коплексного спектра мы попробуем построить огибающую. Тогда \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j \omega t} dt \] Показательная форма: \[ A(j k \omega_1) = A(k \omega_1) l^{j \phi(k \omega_1)} \] Функция $A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ --- спектр фаз. \textbf{Оба они дискретны}. Вторая форма: \[ A(j k \omega_1) = A_k - j B_k \] \[ A_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \cos(k \omega_1 t) dt \] \[ B_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \sin(k \omega_1 t) dt \] Отсюда видно, что \[ A(j \omega_1) = \sqrt{A_k^2 + B_k^2} \] \[ \phi(k \omega_1) = \arctan \left( \frac{B_k}{A_k} \right) \] Если в данных формулах положить $k = 0$, то получится равенство для постоянной (огибающей) состовляющей сигнала: \[ \frac{A_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) dt \] Отсюда: \[ u(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty A(k\omega_1) \cos (k \omega_1 t - \phi(k \omega_1))\] Спектр амплитуд и спектр фаз согласно данному представлению могут быть представлены в виде совокупности линий, каждая из которых соответствует определённой частоте. Поэтому эти спектры называют \emph{линейчатыми}. Сигналы, линейчатые спектры которых включают гарминоки некоторых частот, которые не кратны, называют \emph{почти периодическими}. Согласно этому представлению построим распеределение энергии в спектре этого сигнала. ??? \subsubsection{Распределение энергии в спектре периодических сигналов} Пусть имеется период $T$. Тогда Распределение энергии в спектре периодических сигналов будет определятся интегралом: \[\int_{0}^{T} |u(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} \left| \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) \right|^2 dt = \] \[ = \frac{A_0^2}{4} \int_{0}^{T} dt + \left( \frac{A_0}{2} \sum_{k=1}^\infty A(jk\omega_1) \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt + \frac{A_0}{2} \sum_{k = 1}^\infty A(-j k \omega_1) \int_0^T e^{-j k\omega_1 t} dt + \right) \] \[ + \frac{1}{2} \sum\sum A(j k \omega_1) A(-j l \omega_1) \int_0^T e^{j k \omega_1 t} e^{-j k \omega_1 t} dt\] \ldots{} \[ \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt = \int_0^T e^{-j k \omega_1 t} dt = 0 \] Эти два интеграла будут равны 0, если $k$ \[ \int_0^T e^{j \omega_1 t (k - l)} dt = \begin{cases} T, k = l \\ 0, k \neq l \end{cases}\] В результате этого у нас останется \[ \int_0^T |u(t)|^2 dt = \frac{A_0^2}{2} * \frac{T}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} | A(j k \omega_1) |^2 \] Вывод: согласно данному представлению получаем, что средняя за период энергия будет равна сумме средних энергий, выделяемых каждой гармоникой. \subsubsection{Частотное представление непериодических сигналов} Предположим, что соответствующая реальному непериодическому сигналу $u(t)$ удовлетворяет условию Дирихле и абсолютно интегрируема. Тогда спектральное представление непериодич сигнала $u(t)$ можно строить путём увеличения периода периодического сигнала до бесконечности. С учётом того, что использовался период $\frac{2\pi}{\omega_1}$ будет иметь представление: \[ u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty} \left( \frac{\omega_1}{\pi} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j k \omega_1 t} dt \right) e^{jk \omega_1 t} \] Осуществим предельный переход, при этом $T \to \infty$. При этом сумма перейдёт в интеграл, $\omega_1 = \Delta \omega \to d \omega$, $k\omega_1 \to \omega$. В результате этих преобразований $u(t)$ Будет иметь вид: \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} ( \int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt) e^{j \omega t} d\omega \] Обозначим за $j\omega$ Получим: \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \] \[ S(j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) e^{-j\omega t} dt \] Эта пара называется парой преобразования Фурье для непериодического сигнала. Функция $Sj\omega$ называется комплексной спектральной плотностью или спектральной характеристикой непериодического сигнала. По аналогии с период сигн, спектр харка имеет следующие представления: Показательная форма: \[ S(j \omega) = S(\omega) e^{-j\phi(\omega)} \] $S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\omega)}$. \[ e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j \sin(\omega t)\] \[ S(j \omega) = A(\omega) * j B(\omega) \] \[ A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \cos(\omega t) dt \] \[ B(\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) \sin(\omega t) dt \] При этом \[ S(\omega) = \sqrt{|A(\omega)|^2 + |B(\omega)|^2} \] \[ \phi(\omega) = \arctan \frac{B(\omega)}{A(\omega)} \] \ldots{} \[ S(\omega) = |S(j \omega)| \] \ldots{} \[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{j(\omega t - \phi(\omega))} d\omega = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty S(\omega) \cos(\omega t) - \phi(\omega)) d\omega + j \int_{-\infty}^\infty S(\omega) * \sin(\omega t * \phi(\omega) d \omega) \] А первый в силу \ldots{} можно записать только ???. Таким обр мы получим тригонометрическую форму ряда фурье. \[ u(t) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty S(\omega) \cos(\omega t - \phi(\omega)) d\omega \] \ldots{} ограничить функцию \ldots{} \[ S(j \omega) = \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j\omega t} dt \] Получим \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} S(j \omega) \] Если у непериодического сигнала взять единичный импульс можно построить линейчатый спектр его периодической последовательности. \subsubsection{Распределение энергии в спектре непериодического сигнала} Выражение для величины характеризующей \ldots{} запишем след образом: \[ \int_{-\infty}^\infty |u(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty u(t) (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega ) dt = \] \[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) (\int_{-\infty}^\infty u(t) e^{j \omega t} dt) d\omega = \] \[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) S(-j\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |S(j\omega)|^2 d\omega \] Согласно равенству персиваля \[ = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty |S(j \omega)|^2 d\omega \] В соотвии с этим равенством энергия выделяемая непериодическим сигналом за всё время его существования можно определить интегрируя квадрат модуля спектральной харки в интервале частот. Определим соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра. Предположим, что сигнал $u(t)$ имеет определённую продолжительность и имеет спектральную характеристику $S(j\omega)$. Увеличим длительность сигнала в некоторую $\lambda$ раз и найдём соответствующаю спектральную характеристику \[ S_\lambda (j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(\lambda t) e^{-j \omega t} dt = \] Пусть есть некоторое $\tau = \lambda t$. Тогда \[ = \frac{1}{\lambda} \int_{-\infty}^\infty u(\tau) e^{-j \omega \tau / \lambda} d\tau = \frac{1}{\lambda} S(j \frac{\omega}{\lambda}) \] Из данного равенства видно, что спектр удлиннённого или укороченного в $\lambda$ раз будет в $\lambda$ уже или шире, при этом коэффициент в $\frac{1}{\lambda}$ изменяет только амплитуды гармоник и не влияет на ширину спектра. Это связяно с тем, что переменные $t$ и $\omega$ находятся показатель степени экспоненциальной функции как прямого преобр фурье, так и обратного. Из этого следует, что длительность сигнала и ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными интервалами. В частности, имеет место соотношение $\Delta t : \Delta f = const$, где $\Delta t$ --- длительность импульса, а $\Delta f$ --- ширина.