% Лекция 1 (03.09.21)
\section{Алгебра отношений}
Обозначение множеств:
\begin{itemize}
  \item $A = \{ a : P(A) \}$
  \item $[0, 1] = \{ x : x \in R \land 0 \leq x \leq 1 \}$
  \item $A = \{ 0, 1, \dots, 10 \}$
\end{itemize}

Основные действия над множествами:
\begin{itemize}
  \item Сравнение множеств: $A = B$ означает, что $|A|=|B| \land \forall x \in A \iff x \in B$
  \item Объединение: $A \cup B$ --- множество, состоящее из элементов $A$ или $B$. $A \cup B = \{ x : x \in A \lor x \in B \}$
  \item Разность множеств: $A - B = \{ x : x \in A \land x \not\in B \}$
\end{itemize}

\begin{definition}
  $\{ x, y \}$ называется неупорядоченной парой элементов $x$, $y$.
\end{definition}

\begin{definition}
  Множество $(a, b) = \{ a, \{a, b\} \}$ называют упорядоченной парой.
\end{definition}

$A_1 \cdot \ldots \cdot A_n = \{ (a_1, a_2, \dots, a_n) : \dots \}$

\dots

\begin{definition}
  Всюду определённое и однозначеное бинарное отношение $\phi \subset A \times B$ обозначается $\phi: A \to B$ и
  называется отображением $A$ в $B$, или \textit{функцией} на множестве $A$ со значениями в множестве $B$.
\end{definition}

Для отображения $\phi: A \to B$:
\begin{itemize}
  \item Область определения $D_p = A$ 
  \item Область значений $E_p = B$
\end{itemize}

\begin{definition}
  Отображение $\phi: A \to B$ называется:
  \begin{itemize}
    \item \textit{Преобразованием} множества $A$, если $A = B$;
    \item \textit{Отображением} множества $A$ на множество $B$, если $E_\phi = B$;
    \item \textit{Взаимно однозначным отображением} множества $A$ в множество $B$, если оно является взаимно однозначным бинарным отношением;
    \item \textit{Взаимно однозначным отображением} $A$ на $B$ если оно взаимно однозначно и $E_\phi = B$;
    \item \textit{Перестановкой} множества $A$, если оно является взаимно однозначным отображением множества $A$ на себя.
  \end{itemize}
\end{definition}