% Лекция 3 (17.09.21)
\begin{example}
  На $Z$ рассматривается бинарное отношение $(x, y) \in \varepsilon \iff |x| = |y|$. 
  Очевидно, что $\varepsilon$ рефлексивно, симметрично и транзитивно. 
  $\varepsilon$ является эквивалентным на $Z$ с классами $\varepsilon(x) \{ x, -x \}$  
\end{example}

\begin{example}
  На $Z$ для фиксированного $m \in N$ $(x, y) \in \varepsilon \iff$ $x - y$ делится
  на $m$ то есть $x - y = k \cdot m$ для некоторого $k \in Z$.
  \begin{itemize}
    \item 
      \textit{Рефлексивность}. $(x, x) \in \varepsilon$ равносильна 
      $x - x = m \cdot k$, ($\exists k \in R$) --- выполняется 
      $x - x = m \cdot O$ для $O \in Z$
    \item 
      \textit{Симметричность}. 
      $(x, y) \in \varepsilon \implies (y, x) \in \varepsilon$, 
      то есть $x \cdot y = m \cdot k, \, \exists k \in Z \implies 
      y \cdot x = m \cdot l, \, (\exists l \in Z)$ --- верно, 
      то есть $l = -k \in Z$
    \item
      \textit{Транзитивность}. 
      $(x, y) \in \varepsilon \land (y, z) \in \varepsilon \implies 
      (x, z) \in epsilon$, то есть 
      $x - y = m \cdot k, \, (\exists k \in Z) \lor 
      y - z = m \cdot l, \, (\exists l \in Z) \implies 
      x -z = m \cdot p, \, (\exists p \in Z)$.
  \end{itemize}

  $x - z = (x - y) + (y - z) = m \cdot k + m \cdot l = m \cdot (k + l)$ для $k + l \in Z$
  
  Получаем, что $\varepsilon$ --- отношение эквивалентности, которое 
  обозначается $\text{mod}\, m$ и называется отношением сравнения по модулю $m$.

  Классы отношения эквивалентности $\varepsilon$ : 
  \begin{eqnarray}
    \varepsilon(0) &= \{ 0, m, 2m, \dots, -m, -2m \} = m \cdot \Z \\
    \varepsilon(1) &= \{ 1, m + 1, 2m + 1, \dots, -m + 1, -2m + 1 \} = m \cdot \Z + 1 \\
    &\dots \\
    \varepsilon(m - 1) &= \{ m - 1, 2m - 1, \dots \} = m \cdot \Z + (m - 1) \\
    \varepsilon(m) &= m \cdot \Z + m = m \cdot (Z + 1) = m \cdot Z = m(0)
  \end{eqnarray}

  Фактор-множество $\Z/\text{mod}\, m = \{ \varepsilon(0), \dots, \varepsilon(m - 1) \}$
\end{example}

\begin{example}
  На множестве $V$ всех векторов на плоскости рассмотрим бинарное отношение $\varepsilon$:
  $(a, b) \in \varepsilon \iff (a \upuparrows b \land |a| = |b|)$. 
  $\varepsilon$ является отношением эквивалентности с классами эквивалентности 
  $\varepsilon(a) = \{ x \in V : a \upuparrows x \land |a| = |x| \}$.
  Фактор-множество: $V/\varepsilon = \{ \varepsilon(a) : a \in V \}$
\end{example}

\begin{definition}
  Бинарное отношение $\varepsilon$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
  эквивалентности} (или просто \textit{эквивалентностью}), если оно рефлексивно,
  симметрично и транзитивно.
\end{definition}

\begin{definition}
  \textit{Ядром отображения} $\phi: A \to b$ называется бинарное отношение 
  $ker \phi$ на множестве $A$, которое определяется по формуле 
  \begin{equation*}
    ker \phi \{ (a, b) \in A^2 : \phi(a) = \phi(b) \}
  \end{equation*}
\end{definition}

\begin{definition}
  \textit{Каноническим отображением} эквивалентности $\varepsilon$ называется
  отображение $nat \varepsilon$ множества $A$ на фактор-множество $A/\varepsilon$,
  которое каждому элементу $a \in A$ ставит в соответствие содержащий его класс
  эквивалентности $[a]$. Легко видель, что $ker nat \varepsilon = \varepsilon$
\end{definition}

\begin{definition}
  Подмножество $T \subset A$ называется полной системой представителей классов
  эквивалентности $\varepsilon$ на множестве $A$, если:
  \begin{enumerate}
    \item $\varepsilon(T) = A$
    \item из условия $t_1 \equiv t_2(\varepsilon)$ следует $t_1 = t_2$
  \end{enumerate}
\end{definition}

Классы эквивалентности $[t] \in A/\varepsilon$ могут быть отождествленны со 
своими представителями $t$ и фактор-множество $A/\varepsilon$ может быть 
отождествленно с множеством $T$.

...

Извествен алгоритм построения СДНФ для любой формулы $\Phi (\neq 0)$