% Лекция 4 01.10.21
\begin{definition}[Принцип двойственности]
  Если утверждение $\Phi$ верно для всех упорядоченных множеств, то
  двойственное ему утверждение также верно для всех упорядоченных множеств.
\end{definition}

\begin{example}
  \begin{enumerate}
    \item
      Для утверждения ``если в упорядоченном множестве существует $\sup X$,
      то он единственнен'' двойственным будет ``если в упорядоченном
      множестве существует $\inf X$, то он единственен''.
    \item
      Для утверждения ``упорядоченное множество $(A, \leq)$ имеет
      наибольший элемент'' двойственным будет ``упорядоченное множество
      $(A, \leq)$ имеет наименьший элемент''.
  \end{enumerate}
\end{example}

\subsection{Упорядочивание множества слов}

\subsection{Подмножества и морфизмы упорядоченных множеств}
\begin{lemma}[Цорна]
  Если в упорядоченном множестве любая цепь имеет верхнюю
  грань, то каждый элемент этого множества содержится в
  некотором максимальном элементе.
\end{lemma}

\begin{lemma}[Аксиома выбора]
  Для любого множества $A$ существует такая функция
  $f : P(A) \to A$, что $f(X) \in X$ для любого $X \in P(A)$.
\end{lemma}

\begin{definition}
  Упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности},
  если каждое его непустое подмножество имеет минимальный элемент.
\end{definition}

\begin{lemma}[Обобщённый принцип индукции]
  Если упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности}
  и подмножество $B \subset A$ содержит все такие элементы $a \in A$, для
  которых при всех $x < a$ выполняется $x \in B$, то $B = A$.
\end{lemma}

\begin{definition}
  \textbf{Морфизмы} --- это отображения $\varphi : A \to B$, которые сохряняют
  дополнительную алгебраическую структуру на множества $(A, B)$.

  Если $a_1 \leq_A a_2 \implies \varphi(a_1) \leq_B \varphi(a_2) \quad (\forall a_1, a_2 \in A)$
\end{definition}

\begin{example}
  $\varphi : (\N, \leq_\N) \to (\Z, \leq_\Z)$
\end{example}

\subsection{Отношение квазипорядка}

\begin{definition}
  Бинарное отношение $\omega$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
  квазипорядка} (или просто \textit{квазипорядком}), если оно рефлексивно
  и транзитивно.

  Отношение $\delta = \omega \cap \omega^{-1}$ называется \textit{ядром}
  квазипорядка $\omega$.
\end{definition}

\begin{example}
  \begin{enumerate}
    \item
      Любая эквивалентность $\equiv$ и любой порядок $\leq$ на множестве
      $A$ являются квазипорядками с ядрами $\delta = \equiv$ и
      $\delta = \Delta_A$ соответственно.
    \item
      Отношение делимости $|$ на множество целых чисел $\Z$ является
      квазипорядком с ядром $\delta = \{ (n, \mp n) | n \in \Z\}$.
    \item
      Отношение логического следлвания на множестве $F_{AB}$ формул
      логики высказываний является квазипорядком, ядром которого
      является отношение логической равносильности формул.
    \item
      Отношение достижимости вершин в ориентированном графе является
      квазипорядком, ...
  \end{enumerate}
\end{example}