1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
|
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{example}{Пример}
\title{{Криптографические методы защиты информации}\\{Лабораторная работа №4}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа, 2 вариант}
\date{\the\year{} г.}
\begin{document}
\maketitle
\begin{theorem}[Безу]
Остаток от деления многочлена $P(x)$ на двучлен $(x - a)$ равен $P(a)$.
\label{thm:bezout}
\end{theorem}
\begin{proof}
Поделим с остатком многочлен $P(x)$ на двучлен $x - a$:
\begin{equation*}
P(x)=(x - a) \cdot Q(x) + R(x)
\end{equation*}
где $R(x)$ --- остаток. Так как $\deg R(x) < \deg(x - a) = 1$, то $R(x)$
--- многочлен степени не выше 0, то есть константа, обозначим её за $r$.
Подставляя $x = a$, поскольку $(a-a) \cdot Q(a) = 0$, имеем $P(a) = R(x) = r$.
\end{proof}
\begin{theorem}
Многочлен степени $\leq 3$ неприводим над полем $F$ $\iff$ он не имеет корней
в поле $F$.
\label{thm:irreducibility}
\end{theorem}
\begin{proof}
Если многочлен $f$ неприводим над $F$, то по теореме \ref{thm:bezout} он не
имеет корней в поле $F$. Обратно, если $f$ приводим над $F$ и его степень 2
или 3, то он имеет линейный делитель над $F$, следовательно, он имеет корень в
$F$.
\end{proof}
% \begin{example}
% % Пример с приводимым многочленом <= 3
% \end{example}
% \begin{example}
% % Пример с неприводимым многочленом <= 3
% \end{example}
\begin{example}
Теорема \ref{thm:irreducibility} для многочленов степени $n \geq 4$ в общем
случае неверна. $x^4 + x^2 + 1$ не имеет корней в поле $F_{11}$, но имеет
разложение
\begin{align*}
(x^2 + x + 1) \cdot (x^2 + 10x + 1) &=
x^4 + 10x^3 + x^2 + x^3 + 10x^2 + x + x^2 + 10x + 1 = \\
&= x^4 + 11x^3 + 12x^2 + 11x + 1 = \\
&= x^4 + 0x^3 + 1x^2 + 0x + 1 = \\
&= x^4 + x^2 + 1
\end{align*}
\end{example}
\end{document}
|
