1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
|
\documentclass[14pt,a4paper,oneside]{extarticle}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[
a4paper, mag=1000,
left=2.5cm, right=2.5cm,
top=2.5cm, bottom=2.5cm,
]{geometry}
\usepackage[hidelinks,colorlinks=false]{hyperref}
\usepackage{url}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{tempora}
\usepackage{titlesec}
\usepackage{float}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{braket}
\usepackage{setspace}
\onehalfspacing
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{corollary}{Заключение}
\titleformat{\section}
{\centering\normalfont\bfseries}
{\thesection}{1em}{}
\begin{document}
\begin{flushright}
\textbf{А. Ю. Гущин}
\end{flushright}
\begin{center}
СРАВНЕНИЕ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ ГАМИЛЬТОНОВОСТИ ГРАФОВ НА ОСНОВЕ
ЗАПРЕЩЁННЫХ ПОДГРАФОВ
\end{center}
\begin{center}
Факультет Компьютерных Наук и Информационных технологий \\
Научный руководитель: д.ф.-м.н., доцент \emph{М. Б. Абросимов}
\end{center}
Проверка произвольного графа на гамильтоновость представляет из себя задачу
полного перебора всех возможных построений гамильтонова цикла, что является
NP-полной задачей, крайне неэффективной для вычисления. Одно из наиболее
эффективных достаточных условий гамильтоновости графа было предложено в
1976 году математиками Бонди и Хваталом [1]. В данной работе рассмотрены
теоремы, основанные на достаточно широко распространённой концепции запрещённых
подграфов. Практическая эффективность этих условий исследуется путём сравнения с
условием Бонди-Хватала.
% \section{Исследуемые достаточные условия}
На рисунке \ref{fig:graphs} изображены графы, упоминаемые в следующих теоремах.
\begin{theorem}[{[2]}] % 85
Всякий двусвязный граф $G$ свободный от подграфов $\set{K_{1, 3}, N}$ является гамильтоновым.
\end{theorem}
\begin{theorem}[{[2]}] % 86
Если граф $G$ является двусвязным и свободным от подграфов $\set{K_{1, 3},
P_6}$, то он также является гамильтоновым.
\end{theorem}
\begin{theorem}[{[2]}] % 87
Если граф $G$ является двусвязным и свободным от подграфов $\set{K_{1, 3},
Z_2}$, то он также является гамильтоновым.
\end{theorem}
\begin{theorem}[{[2]}] % 88
Если граф $G$ является двусвязным и свободным от подграфов $\set{K_{1, 3},
W}$, то он также является гамильтоновым.
\end{theorem}
\begin{theorem}[{[2]}] % 96
Если граф $G$ является трисвязным и свободным от подграфов $\set{K_{1, 3},
N}$, то он также является гамильтоново-связным.
\end{theorem}
\begin{figure}[ht]
\centering
\includegraphics[width=0.9\textwidth]{01guschin.jpg}
\caption{Графы $P_6$, $K_{1,3}$, $N$, $Z_2$, $W$}
\label{fig:graphs}
\end{figure}
% \begin{theorem}[{[3]}] % 3.1
% Если граф $G$ является двусвязным и свободным от подграфов $\set{K_{1, 3},
% Z_1}$, то он также является гамильтоновым.
% \end{theorem}
% \begin{theorem}[{[3]}] % 3.2
% Всякий связный, локально связный, свободный от подграфов $K_{1, 3}$ граф
% $G$ с количеством вершин $n \geq 3$ является гамильтоновым.
% \end{theorem}
% \begin{corollary}[{[3]}] % 3.5
% Если граф $G$ является двусвязным и свободным от подграфов $K_{1, 3}$, то
% \begin{enumerate}
% \item если $G$ свободен от подграфов $I$, то он также является гамильтоновым;
% \item если $G$ свободен от подграфов $A$, то он также является гамильтоновым.
% \end{enumerate}
% \end{corollary}
% \section{Вычислительный эксперимент}
Для сравнения выбранных условий была разработана программа, проверяющая
условия для заданных графов. Графы генерировались с помощь программы geng из
пакета nauty [3]. Результаты занесены в таблицу \ref{tbl:res}.
% \begin{table}[H]
% \centering
% \caption{Результаты вычислительного эксперимента}
% \begin{tabular}{|c|p{2cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|}
% \hline
% $n$ & Т. Бонди-Хватала & Т1 & Т2 & Т3 & Т4 & Т5 & Т6 & Т7 & З1 \\ \hline
% 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
% 2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ \hline
% 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & 1 & 1 & 1 \\ \hline
% 4 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 1 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
% 5 & 7 & 8 & 8 & 8 & 8 & 3 & 4 & 5 & 8 \\ \hline
% 6 & 45 & 32 & 32 & 25 & 32 & 13 & 5 & 18 & 29 \\ \hline
% 7 & 352 & 126 & 123 & 56 & 122 & 60 & 5 & 69 & 96 \\ \hline
% 8 & 5540 & 605 & 578 & 133 & 554 & 359 & 6 & 349 & 399 \\ \hline
% 9 & 157016 & 3148 & 2925 & 331 & 2723 & 2241 & 6 & 2049 & 1895 \\ \hline
% \end{tabular}
% \end{table}
\begin{table}[H]
\centering
\footnotesize
\caption{Результаты вычислительного эксперимента}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$n$ & Т. Бонди-Хватала & Т1 & Т2 & Т3 & Т4 & Т5 \\ \hline
1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline
2 & 1 & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 \\ \hline
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 4 \\ \hline
4 & 3 & 3 & 3 & 3 & 3 & 1 \\ \hline
5 & 7 & 8 & 8 & 8 & 8 & 3 \\ \hline
6 & 45 & 32 & 32 & 25 & 32 & 13 \\ \hline
7 & 352 & 126 & 123 & 56 & 122 & 60 \\ \hline
8 & 5540 & 605 & 578 & 133 & 554 & 359 \\ \hline
9 & 157016 & 3148 & 2925 & 331 & 2723 & 2241 \\ \hline
10 & 8298805 & 19296 & 17691 & 945 & 16446 & 15889 \\ \hline
\end{tabular}
\label{tbl:res}
\end{table}
В результате выполнения вычислительного эксперимента удалось выяснить, что
указанные теоремы позволяют определить гамильтоновость графов, которые не
определяются с помощью условия Бонди-Хватала.
\begin{center}
Библиографический список
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \emph{Bondy, J. A.} A method in graph theory / J. A. Bondy, V. Chvatal // \emph{Discrete Mathematics.} — 1976. — Vol. 15, no. 2. — Pp. 111–135.
\item \emph{Gould, R. J.} Advances on the hamiltonian problem–a survey / R. J. Gould // \emph{Graphs and Combinatorics.} — 2003. — Vol. 19, no. 1. — Pp. 7–52.
% \item \emph{Gould, R. J.} Updating the hamiltonian problema survey / R. J. Gould // \emph{Journal of Graph Theory.} — 1991. — Vol. 15, no. 2. — Pp. 121–157.
\item \emph{McKay, B. D.} Practical graph isomorphism, ii / B. D. McKay, A. Piperno // \emph{Journal of symbolic computation.} — 2014. — Vol. 60. — Pp. 94–112.
\end{enumerate}
\end{document}
|
