1 files changed, 384 insertions, 0 deletions
diff --git a/refmat/refmat.tex b/refmat/refmat.tex
new file mode 100644
index 0000000..b17262b
--- /dev/null
+++ b/refmat/refmat.tex
@@ -0,0 +1,384 @@
+\documentclass[bachelor, och, referat]{SCWorks}
+% параметр - тип обучения - одно из значений:
+%    spec     - специальность
+%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
+%    master   - магистратура
+% параметр - форма обучения - одно из значений:
+%    och   - очное (по умолчанию)
+%    zaoch - заочное
+% параметр - тип работы - одно из значений:
+%    referat    - реферат
+%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)
+%    diploma    - дипломная работа
+%    pract      - отчет по практике
+% параметр - включение шрифта
+%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
+%               по умолчанию выключен
+\usepackage{subfigure}
+\usepackage{tikz,pgfplots}
+\pgfplotsset{compat=1.5}
+\usepackage{float}
+
+%\usepackage{titlesec}
+\setcounter{secnumdepth}{4}
+%\titleformat{\paragraph}
+%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
+%\titlespacing*{\paragraph}
+%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}
+
+\titleformat{\paragraph}[block]
+{\hspace{1.25cm}\normalfont}
+{\theparagraph}{1ex}{}
+\titlespacing{\paragraph}
+{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}
+
+% --------------------------------------------------------------------------%
+
+
+\usepackage[T2A]{fontenc}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{graphicx}
+\graphicspath{ {./images/} }
+\usepackage{tempora}
+
+\usepackage[sort,compress]{cite}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsthm}
+\usepackage{fancyvrb}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{listingsutf8}
+\usepackage{longtable}
+\usepackage{array}
+\usepackage[english,russian]{babel}
+
+\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
+\usepackage{url}
+
+\usepackage{underscore}
+\usepackage{setspace}
+\usepackage{indentfirst} 
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage{amsfonts}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{tikz}
+
+\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
+\newcommand{\specialcell}[2][c]{%
+\begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}}
+
+\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}
+
+\newtheorem{lem}{Лемма}
+
+\begin{document}
+
+% Кафедра (в родительном падеже)
+\chair{}
+
+% Тема работы
+\title{Геометрические и физические приложения определенного интеграла}
+
+% Курс
+\course{2}
+
+% Группа
+\group{231}
+
+% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
+\department{факультета КНиИТ}
+
+% Специальность/направление код - наименование
+%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
+%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
+%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
+%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
+\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность}
+
+% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
+% \studenttitle{Студентки}
+
+% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
+\author{Гущина Андрея Юрьевича}
+
+% Заведующий кафедрой
+% \chtitle{} % степень, звание
+% \chname{}
+
+%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
+\satitle{преподаватель} %должность, степень, звание
+\saname{Е. В. Разумовская}
+
+% Руководитель практики от организации (только для практики,
+% для остальных типов работ не используется)
+% \patitle{к.ф.-м.н.}
+% \paname{С.~В.~Миронов}
+
+% Семестр (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\term{8}
+
+% Наименование практики (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\practtype{преддипломная}
+
+% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
+% для остальных типов работ не используется)
+%\duration{4}
+
+% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
+% типов работ не используется)
+%\practStart{30.04.2019}
+%\practFinish{27.05.2019}
+
+% Год выполнения отчета
+\date{2020}
+
+\maketitle
+
+% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
+% (по умолчанию - нумерация сквозная)
+% (допускается оба вида нумерации)
+% \secNumbering
+
+%-------------------------------------------------------------------------------------------
+\intro
+\subsection*{Определение определенного интеграла Римана.}
+
+Интеграл Римана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, 
+и является одной из первых формализаций понятия интеграла.
+
+Пусть $f(x)$ задана на отрезке $[a; b]$. Обозначим буквой $R$ разбиение $[a; b]$ на $n$ частичных отрезков 
+с помощью несовпадающих точек $a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b$ (т.е. $R = \left\{x_i\right\}$). 
+Обозначим $\Delta x_i = x_{i+1} - x_i$ "--- длину частичного отрезка разбиения $[x_i ; x_{i+1}]$, 
+а $\Delta = max$ $\Delta x_i$ (где $0 \leq i \leq n - 1$) "--- диаметр разбиения.
+
+Возьмем произвольную точку $\xi_i \in [x_i ; x_{i+1}]$ $\forall i = 0, n-1$ и составим интегральную сумму 
+$S_R (\xi) = f(\xi_0)\Delta x_0 + \cdots + f(\xi_{n-1})\Delta x_{n-1} = \displaystyle\sum_{i = 0}^{n - 1} f(\xi_i)\Delta x_i$.
+
+Если $\forall \varepsilon > 0$ $\exists \delta = \delta(\varepsilon) > 0$ $: \forall R$ $: \Delta < \delta$, 
+где $\forall \xi = (\xi_1, \cdots, \xi_n)$ выполняется $|S_R(\xi) - S| < \varepsilon$, то $f(x)$ называется 
+интегрируемой на отрезке $[a; b]$, а S собственно называют интегралом Римана от $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ и обозначают $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$.
+
+Смысл этого определения также в том, что $\exists \displaystyle\lim_{\Delta \to 0}S_R(\xi) = S < \infty$ и $S$ 
+не зависит ни от выбора $R$, ни от выбора $\xi_i$.
+
+\subsection*{Геометрический смысл определенного интеграла Римана.}
+
+Пусть $f(x) > 0$ на отрезке $[a; b]$. Рассмотрим график $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$. 
+Величина $f(\xi_i)\Delta x_i$ равна площади прямоугольника со сторонами $f(\xi_i)$ и $\Delta x_i$. 
+Сумма $S_R(\xi)$ есть площадь фигуры, составленной из таких прямоугольников.
+
+Тогда при $\Delta \to 0$ получаем, что $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = S_G$ равен площади фигуры, 
+ограниченной $y = f(x), y = 0, x = a, x = b$ и называемой \textbf{криволинейной трапецией}. 
+Если $f(x) < 0$, то $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = -S_G$, а если же $f(x)$ на $[a; b]$ меняет свой знак, 
+то интеграл равен сумме площадей криволинейных трапеций.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/geomsmisel.png}
+    \caption{Криволинейная трапеция}
+ \end{figure}
+
+\subsection*{Свойства определенного интеграла}
+
+Пусть $f(x), g(x)$ интегрируемы на отрезке $[a; b]$. Положим $\int\limits_{a}^{a} f(x)dx = 0$, 
+$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = -\int\limits_{b}^{a} f(x)dx$. Определенный интеграл обладает следующими свойствами:
+
+\begin{enumerate}
+    \item $\int\limits_{a}^{b} (c_1 \cdot f(x) + c_2 \cdot g(x))dx = c_1 \cdot \int\limits_{a}^{b} f(x)dx + c_2 \cdot \int\limits_{a}^{b} g(x)dx $
+    \item $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx = \int\limits_{a}^{c} f(x)dx + \int\limits_{c}^{b} f(x)dx$
+    \item Если $f(x) \geq g(x)$ на $[a, b] \implies \int\limits_{a}^{b} f(x)dx \geq \int\limits_{a}^{b} g(x)dx$
+    \item Если $g(x) \geq 0$ на $[a, b]$, $m = inf_{[a, b]} f(x), M = sup_{[a, b]} f(x) \implies$
+    
+    $\int\limits_{a}^{b} f(x) \cdot g(x)dx = \mu \int\limits_{a}^{b} g(x)dx$, где $m \leq \mu \leq M$
+\end{enumerate}
+
+\section{Вычисление площадей плоских областей}
+
+\subsection{Площадь фигуры в прямоугольных координатах}
+Площадь фигуры между двумя кривыми в прямоугольных координатах определяется интегралом 
+\[\int\limits_{a}^{b} (y_2(x) - y_1(x)) dx = S\] от разницы кривых, где одна из них всегда принимает
+не меньшие значения чем другая ($y_2(x) \geq y_1(x)$), а также кривые непрерывны. 
+Пределы интегрирования -- прямые $x_1 = a$, $x_2 = b$ -- ограничивают фигуру ($a < b$, чаще всего это точки пересечения заданных кривых).
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/rectS.png}
+    \caption{Фигура, ограниченная двумя непрерывными кривыми и двумя прямыми}
+ \end{figure}
+
+\subsection{Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде}
+Если имеем $x = x(t), y = y(t)$ -- параметрическое уравнение кусково-гладкой простой замкнутой 
+кривой на промежутке $[0;T]$, что проходит против часовой стрелки и ограничивает слева от себя фигурой, то ее площадь $S$ находим формулой
+\[ S = - \int\limits_{0}^{T} x'(t)y(t)dt = \int\limits_{0}^{T} x(t)y'(t)dt = \frac{1}{2} \int\limits_{0}^{T} [x(t)y'(t) - x'(t)y(t)]dt \]
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/parS.png}
+    \caption{Фигура, ограниченная кривой, заданной в параметрическом виде}
+ \end{figure}
+
+\subsection{Площадь фигуры в полярных координатах}
+Площадь $S$ криволинейного сектора $OAB$, ограниченного непрерывной кривой $r = r(\phi)$ 
+и двумя лучами $\phi = \alpha$ и $\phi = \beta$, где $\alpha < \beta$ равняется половине определенного интеграла от 
+квадрата радиуса кривой, проинтегрированного в пределах изменения угла:
+\[ S =  \frac{1}{2} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^2 (\phi) d\phi \]
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.75\textwidth]{img/polarS.png}
+    \caption{Cектор, ограниченный кривой и двумя полуполярными углами}
+ \end{figure}
+
+\section{Вычисление длины дуги кривой}
+
+\subsection{Длина дуги в прямоугольных координатах}
+Пусть некоторая функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a; b]$, и её график на данном промежутке представляет собой кривую или, что тоже самое, дугу кривой $AB$:
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.65\textwidth]{img/img7.png}
+    \caption{Кривая AB}
+ \end{figure}
+
+В предположение о непрерывности производной $f'(x)$ на $[a; b]$, длина кривой $AB$ выражается формулой:
+
+\[L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx \text{, или же } L = \int\limits_{a}^{b} \sqrt{1 + (y')^2} dx\]
+
+\newpage
+\subsection{Длина дуги кривой, заданной параметрически}
+Если кривая $C$ задана уравнениями $x = x (t), y = y(t)$ $(t \in [t_0 ; T])$, где $x(t)$ и $y(t)$ 
+непрерывные на $[t_0 ; T]$ функции, то длина дуги кривой $C$ равняется определенному интегралу:
+
+\[l = \int\limits_{t_0}^{T} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt\]
+
+\subsection{Длина дуги в полярных координатах}
+Если кривая задана уравнением $r = r(\phi), (\phi_1 \leq \phi \leq \phi_2)$ в полярной системе координат, 
+где функция является гладкой непрерывной на промежутке $r (\phi) \in C^1 [\phi_1 ; \phi_2]$, 
+тогда длина дуги кривой равняется определенному интегралу, рассчитанному по формуле
+
+\[l = \int\limits_{\phi_1}^{\phi_2} \sqrt{(r(\phi))^2 + (r'(\phi))^2} d\phi\]
+
+\section{Вычисление площади поверхности вращения}
+
+\subsection{Площадь поверхности вращения в декартовой системе координат}
+
+Площадь поверхности $P$, что образована вращением гладкой кривой $AB$ вокруг оси $Ox$, где $y(x)$ -- непрерывная гладкая функция ($y = f(x)$), равняется
+
+\[P = 2 \pi \int\limits_{A}^{B} |y| ds = 2 \pi \int\limits_{A}^{B} |y| \sqrt{1 + (y')^2} dx \]
+, где $ds = \sqrt{1 + (y')^2} dx $ -- дифференциал дуги.
+
+\subsection{Площадь поверхности вращения в параметрическом виде}
+
+Если $x = x(t), y = y(t)$ и $ t_0 \leq t \leq T$ (т.е. кривая задана параметрически), то площадь поверхности можно высчитать следующим образом:
+\[ P = 2 \pi \int\limits_{t_0}^{T} y(t) \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+ \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt \]
+
+\subsection{Площадь поверхности вращения в полярных координатах}
+
+Если кривая задана в полярных координатах уравнением $\rho= f (\phi)$, где $\alpha \leq \phi \leq \beta$, 
+а функция $f(\phi)$ имеет непрерывную производную $f'(\phi)$ на $[\alpha;\beta]$, то, учитывая, что $y = \rho\sin\phi= f(\phi)\sin\phi$, получим:
+
+\[ P= 2 \pi \int\limits_{\alpha}^{\beta} \rho\sin\phi \sqrt{(\rho'_{\phi})^2 + \rho^2}\,d\phi \]
+
+\section{Объем тела вращения}
+
+\subsection{Объем тела вращения в декартовом виде вокруг осей Ox, Oy}
+
+Пусть область, которую мы будем вращать, представляет собой самую классическую криволинейную трапецию.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.45\textwidth]{img/img6.png}
+    \caption{Криволинейная трапеция}
+ \end{figure}
+
+Естественно, что вращать её можно только вокруг оси Оx. Если же эту трапецию сдвинуть вправо по горизонтали так, 
+чтобы она не пересекала ось Oy, то её можно вращать и относительно этой оси. Получаем следующие формулы:
+\[ V^{Ox} = \pi \int\limits_{a}^{b} y^2(x) dx ; \; V^{Oy} = 2 \pi \int\limits_{a}^{b} xy(x) dx \]
+
+\subsection{Объём тела вращения, заданное уравнением кривой в параметрическом виде}
+
+Пусть кривые заданы в параметрическом виде. Так как такие кривые являются замкнутыми, параметр t должен меняться таким образом, 
+чтобы замкнутая фигура при обходе её по кривой (границе) оставалась слева.
+
+\begin{figure}[H]
+    \centering
+    \includegraphics[width=0.55\textwidth]{img/img5.png}
+    \caption{Замкнутая кривая}
+ \end{figure}
+
+Тогда для вычисления объёмов тел вращения относительно оси ОХ или OY используются следующие формулы:
+\[ V^{Ox} = - \pi \int\limits_{t_1}^{t^2} y^2(t) x' dt ; \; V^{Oy} = \pi \int\limits_{t_1}^{t_2} x^2(t) y'(t) dt\]
+
+\subsection{Объем тела вращения в полярных координатах}
+
+Если кривые заданы полярными координатами ($r = r (\phi)$), тогда будет справедлива следующая формуля расчета объема тела вращения:
+
+\[ V = \frac{2 \pi}{3} \int\limits_{\alpha}^{\beta} r^3 (\phi) sin \phi d \phi, \] где $0 \leq \alpha \leq \phi \leq \beta \leq \pi$.
+
+\section{Механические приложения}
+
+\subsection{Вычисление массы кривой}
+
+Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой пространственной кривой $C$. 
+Пусть масса распределена вдоль этой кривой с плотностью $\rho (x, y, z)$. Тогда общая масса кривой выражается через криволинейный интеграл первого рода
+\[ m = \int\limits_{C} \rho (x, y, z) ds \]
+
+Если кривая $C$ задана в параметрическом виде с помощью векторной функции $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то её масса описывается формулой
+\[ m = \int\limits_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dz}{dt} \right)^2} dt \]
+
+В случае плоской кривой, заданной в плоскости $Oxy$, масса определяется как
+\[ m = \int\limits_C \rho(x, y) ds \]
+или в параметрической форме
+\[ m = \int\limits_\alpha^\beta \rho(x(t), y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt} \right)^2 + \left(\frac{dy}{dt} \right)^2} dt \]
+
+\subsection{Статические моменты относительно Ox, Oy}
+
+Статическим моментом точки относительно оси называется произведе-ние массы точки на расстояние до прямой. 
+Рассмотрим плоскую кривую, у которой плотность равна $\rho (x, y) = 1$ (тогда масса кривой равна ее длине), 
+и найдём статический момент кривой относительно оси Ox . Пусть кривая задана уравнением $y = y(x), a \leq x \leq b$. 
+Возьмем на кривой точку $(x, y)$ и вырежем из кривой элементарный участок длины $dl$, содержащий точку $(x, y)$. 
+Если считать массу участка, равную $dl$, сосредоточенной в точке $(x, y)$, то элементарный момент, 
+то есть статический момент малого элемента кривой относительно оси Ox равен $dS = y \cdot dl$. 
+Тогда статический момент всей кривой относительно оси Ox, находится по последующей формуле:
+\[ S_x = \int\limits_a^b y(x) \cdot \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \]
+
+Аналогичным образом выводится формула для вычисления статического момента кривой относительно оси Oy:
+
+\[ S_y = \int\limits_a^b x \cdot \sqrt{1 + (y'(x))^2} dx \]
+
+\subsection{Моменты инерции относительно осей Ox, Oy}
+
+Моментом инерции материальной точки $A$ относительно оси $l$ называется число $md^2$, где $m$ — масса точки, а $d$ — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.
+
+Пусть $\Gamma$ — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине $dl$, а момент инерции $dl_x$ такого участка относительно оси абсцисс равен $y^2 dl$. Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:
+\[ I_x=\int\limits_{0}^{l} y^2\,dl. \text { Так же доказывается, что } I_y= \int\limits_{0}^{l} x^2\,dl \text{ и } I_0=\int\limits_{0}^{l} \bigl(x^2+y^2\bigr)dl, \]
+где $I_0$ — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что $I_0 = I_x + I_y$.
+
+Если линия $\Gamma$ задана параметрическими уравнениями:
+
+$\begin{cases} x=\varphi(t),\\ y=\psi(t),\end{cases} 0 \leqslant t \leqslant l$, то
+$I_x=\int\limits_{0}^{l} \psi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,.$
+
+Аналогичные формулы справедливы для $I_y$ и $I_0$:
+
+\[ I_y=\int\limits_{0}^{l} \varphi^2(t)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2 + \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\,; \] 
+\[ \qquad I_0=\int\limits_{0}^{l} \bigl(\varphi^2(t)+\psi^2(t)\bigr)\sqrt{\bigl( \varphi'(t)\bigr)^2+ \bigl(\psi'(t)\bigr)^2}\,dt\, \]
+\subsection{Координаты центра тяжести}
+
+Центром тяжести материальной плоской кривой $y = f(x), x \in [a; b]$ называется точка плоскости, 
+обладающая следующим свойством: если в этой точке сосредоточить всю массу $m$ заданной кривой, 
+то статический момент этой точки относительно любой координатной оси будет равен статическому моменту всей кривой $y = f(x)$ относительно той же оси. 
+Обозначим через $C (x_c ; y_c)$ центр тяжести кривой AB. Тогда координаты центра тяжести вычисляются по следующим формулам:
+
+\[ x_c = \frac{\int\limits_a^b x \cdot \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}{\int\limits_a^b \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx} ; \;
+y_c = \frac{\int\limits_a^b y \cdot \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}{\int\limits_a^b \sqrt{1 + (y'_x)^2} dx}\]
+
+Также имеет место следующие две формулы для определения центра тяжести дуги окружности:
+
+\[ x_c = \frac{1}{l} \int\limits_{(l)} x dl ; \; y_c = \frac{1}{l} \int\limits_{(l)} y dl\]
+
+где $l$ - длина дуги.
+
+\end{document}
+\ No newline at end of file