1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
|
\documentclass[a4paper,oneside,12pt]{extbook}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[
left=2cm,right=2cm,
top=2.5cm,bottom=2.5cm
]{geometry}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{braket} % \set
\usepackage{hyperref}
\renewcommand{\emptyset}{\varnothing}
\renewcommand{\qedsymbol}{$\blacksquare$}
\newcommand{\link}{\hyperref}
\input{style.tex}
\begin{document}
\chapter*{Введение}
\section{Декартово произведение. Бинарные отношения. Пустое и универсальное
отношения. Операции над отношениями: пересечение, объединение, дополнение,
обращение, умножение.}
\begin{definition}
Пусть $A$, $B$ --- два непустых множества. Декартовым произведением $A$ и $B$
называется множество $A \times B = \set{(a, b) : a \in A,\, b \in B}$
\label{def:decart-cross}
\end{definition}
\begin{definition}
Бинарным отношением между множествами A и B называется всякое подмножество
$A \times B$. $\rho \subseteq A \times B$.
\label{def:bin-rel}
\end{definition}
\begin{definition}
Пустое отношение --- это отношение, не содержащее ни одной пары. Обозначение:
$\emptyset$.
\label{def:empty-set}
\end{definition}
\begin{definition}
Универсальное отношение содержит все возможные упорядоченные пары.
$\forall \rho: \emptyset \subseteq \rho \subseteq A \times B$.
\label{def:universal-set}
\end{definition}
\chapter{Основные алгебраические конструкции для графов}
\chapter{Основные типы неориентированных графов}
\chapter{Пути в орграфах}
\section{Источники и стоки. Фактор-граф. Конденсация и ее свойства.
Бесконтурность конденсации.}
% Лекция 12
\begin{definition}
Источником в орграфе называется такая его вершина, которая не достижима ни из
какой другой его вершины.
\label{def:source}
\end{definition}
\begin{definition}
Стоком в орграфе называется вершина, из которой не достижима никакая другая
вершина орграфа.
\label{def:sink}
\end{definition}
\begin{definition}
Пусть $\vec{G} = (V, \alpha)$ --- некоторый орграф, а $\theta \subseteq V
\times V$ --- отношение эквивалентности на множестве его вершин.
Фактор-графом орграфа $\vec{G}$ по эквивалентности $\theta$ называется орграф
$\vec{G}/\theta$, вершинами которого являются классы эквивалентности отношения
$\theta$, при этом из вершины $\theta(u)$ проведена дуга в $\theta(v)$, если
существуют вершины $u' \in \theta(u), v' \in \theta(v) : (u', v') \in \alpha$.
\label{def:factor}
\end{definition}
\begin{definition}
Конденсация орграфа $\vec{G} = (V, \alpha)$ --- это фактор-граф
$\vec{G}/\varepsilon$ (по отношению взаимной достижимости).
Так как классами отношения $\varepsilon$ являются сильные компоненты орграфа,
то они и будут вершинами конденсации.
\label{def:condensation}
\end{definition}
% TODO: свойства конденсации
\begin{theorem}[Бесконтурность конденсации]
Конденсация всякого орграфа является бесконтурным графом.
\label{thm:acyclic-condensation}
\end{theorem}
\begin{proof}
Предположим, что это не так. Пусть $\vec{G} = (V, \alpha)$ и в
$\vec{G}/\varepsilon$ существует нетривиальный контур. $\varepsilon(u_1) \to
\varepsilon(u_2) \to \dots \to \varepsilon(u_k),\, k > 1$.
В любом классе отношения $\varepsilon$ орграфа $\vec{G}$ все вершины
взаимно достижимы. $\varepsilon(u_1) \to \varepsilon(u_2) \to \dots \to
\varepsilon(u_k) \to \varepsilon(u_1)$.
По определению конденсации в $\vec{G}$ существуют вершины $u_1' \in
\varepsilon(u_1),\, u_2' \in \varepsilon(u_2) : (u_1', u_2') \in \alpha$ в
орграфе $\vec{G}$. Вершина $u_2$ достижима из $u_1$.
Аналогично, $u_3$ достижима из $u_2$ и так далее. $u_k$ достижима из $u_{k -
1}$, $u_1$ достижима из $u_k$.
В силу транзитивности получаем, что вершина $u_1$ достижима из $u_2$ и
наоборот. То есть $u_1$ и $u_2$ взаимно достижимы. По определению
конденсации $u_1$ и $u_2$ должны принадлежать одному классу $\varepsilon$.
\emph{Это противоречие}.
\end{proof}
\section{Раскраски графов. Критерий двудольности. Теорема о 5 красках}
\begin{definition} \label{def:coloring}
Рассмотрим граф $G = (V, \alpha)$. Каждой его вершине припишем некоторый цвет
так, чтобы смежные вершины имели разные цвета. Обозначим цвета числами $1,
\dots, p$. Тогда раскраску графа можно рассматривать как функцию $f : V \to
\set{1, p}$ если $\set{v_i, v_j} \in \alpha \implies f(v_i) \neq f(v_j)$.
При этом говорят, что граф $G$ допускает раскраску в $p$ цветов или является
$p$-раскрашиваемым.
\end{definition}
\begin{definition} \label{def:chroma-num}
Минимальное значение $p$, при котором граф является $p$-раскрашиваемым,
называется его хроматическим числом и обозначается $\chi(G)$. Аналогичным
образом можно рассматривать раскраску ребер. Соответствующий хроматическому
числу параметр в этом случае называется хроматическим индексом.
\end{definition}
Интерес представляет описание графов с заданным хроматическим числом. Например,
$\chi(G) = 1$ --- вполне несвязные $O_n$. Графы с $\chi(G) = 2$ --- это
двудольные графы, отличные от вполне несвязных.
\begin{theorem}[Кёнига, Критерий двудольности]
Граф является двудольным $\iff$ он не содержит циклов нечётной длины.
\label{thm:konig} \label{thm:crit-bipart}
\end{theorem}
\begin{theorem}[О 5 красках, Хивуд]
Всякий планарный граф допускает раскраску в 5 цветов, то есть $\chi(G) \leq
5$.
\label{thm:5-colors}
\end{theorem}
\begin{proof}
Очевидно, что $\forall G = (V, \alpha),\, n \leq 5$, допускает раскраску
в 5 цветов.
Доказательство по ММИ. Пусть $n$-вершинный планарный граф с $n > 5$
допускает раскраску в 5 цветов. Покажем, что граф $H$ с $(n + 1)$ вершинами
тоже допускает раскраску в 5 цветов.
В силу планарности $H$ в нём существует вершина $v$ со степенью меньше или
равной 5. Рассмотрим два случая:
\begin{enumerate}
\item
$d(v) < 5$. Тогда $H - \set{v}$ --- по предположению 5-раскрашиваемый.
Возвращаясь к графу $H$, остальные раскрашиваем как $H - \set{v}$, а
вершину $v$ в цвет, отличный от цвета смежных вершин.
\item
$d(v) = 5$. $v_1, \dots, v_5$ не могут быть все попарно смежными (иначе
будет $K_5$). То есть как минимум одна пара этих вершин, несмежных между
собой. Пусть это $v_1$ и $v_2$. Рассмотрим граф, получающийся из $H$
объединением $v_1$ и $v_2$ (\link[def:factor]{фактор-граф} по отношению
$\theta$, где $\set{v_1, v_2}$). По предположению этот граф допускает
раскраску пятью цветами. Возвращаясь к $H$, оставляем раскраску, а $v_1$ и
$v_2$ раскрашиваем в цвет $\set{v_1, v_2}$.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{document}
|
