path: root/physics/lab10/lab10.tex

\documentclass[bachelor, och, labwork]{SCWorks}
% параметр - тип обучения - одно из значений:
%    spec     - специальность
%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
%    master   - магистратура
% параметр - форма обучения - одно из значений:
%    och   - очное (по умолчанию)
%    zaoch - заочное
% параметр - тип работы - одно из значений:
%    referat    - реферат
%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)
%    diploma    - дипломная работа
%    pract      - отчет по практике
% параметр - включение шрифта
%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
%               по умолчанию выключен

\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz,pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.5}
\usepackage{float}

%\usepackage{titlesec}
\setcounter{secnumdepth}{4}
%\titleformat{\paragraph}
%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
%\titlespacing*{\paragraph}
%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}

\titleformat{\paragraph}[block]
{\hspace{1.25cm}\normalfont}
{\theparagraph}{1ex}{}
\titlespacing{\paragraph}
{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}

% --------------------------------------------------------------------------%


\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{tempora}

\usepackage[sort,compress]{cite}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{listings}
\usepackage{listingsutf8}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{array}
\usepackage[english,russian]{babel}

% \usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{url}

\usepackage{enumitem}


\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
\newcommand{\dsint}{\displaystyle\int}

\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}

\newtheorem{lem}{Лемма}

\begin{document}

% Кафедра (в родительном падеже)
\chair{}

% Тема работы
\title{Исследование колебаний пружинного маятника}

% Курс
\course{1}

% Группа
\group{131}

% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
\department{факультета КНиИТ}

% Специальность/направление код - наименование
%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
\napravlenie{090301 "--- Компьютерная безопасность}

% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
% \studenttitle{Студентки}

% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
\author{Гущина Андрея Юрьевича}

% Заведующий кафедрой
% \chtitle{} % степень, звание
% \chname{}

%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
\satitle{доцент} %должность, степень, звание
\saname{В. В. Шунаев}

% Руководитель практики от организации (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
% \patitle{к.ф.-м.н.}
% \paname{С.~В.~Миронов}

% Семестр (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\term{8}

% Наименование практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practtype{преддипломная}

% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
%\duration{4}

% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practStart{30.04.2019}
%\practFinish{27.05.2019}

% Год выполнения отчета
\date{2020}

\maketitle

% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
% (по умолчанию - нумерация сквозная)
% (допускается оба вида нумерации)
% \secNumbering


\tableofcontents

\section{Лабораторная работа \#10}

\textbf{Цель работы}: изучение гармонических колебаний, измерение коэффициента
жесткости пружины и логарифмического декремента затухания пружинного маятника.

\textbf{Принадлежности}: установка, набор пружин, набор гирь, секундомер.

\subsection{Ход работы}

\begin{enumerate}
    \item 
        Определение коэффициента жесткости пружины статическим методом:

        \begin{enumerate}[label*=\arabic*.]
            \item 
                Закрепить на штативе пружину и предварительно растянуть её,
                притянуть её, прикрепив к нижнему концу лёгкий груз.
            \item По шкале зафиксировать положение равновесия пружины.
            \item 
                Нагрузить пружину грузом известной массы и заметить
                положение указателя по шкале $x$.
            \item
                Рассчитать значение коэффициента жесткости пружины по 
                формуле закона Гука: $k = \frac{mg}{|x - x_0|}$,
                где $m$ -- масса груза, $g$ -- ускорение свободного падения.
            \item
                Операции, указанные в предыдущих пунктах, проделать для
                трех грузов различной массы.
            \item
                Измерения провести для трёъ пружин с различными 
                коэффициентами жёсткости.
            \item
                Данные прямых измерений и вычислений занести в табл.
                \ref{table:static_results}
        \end{enumerate}

    \item
        Определение коэффициента жесткости пружины динамическим методом:

        \begin{enumerate}[label*=\arabic*.]
            \item 
                Закрепить на штативе пружину и прикрепить к её нижнему концу
                груз известной массы.
            \item
                Вывести маятник из положения равновесия и предоставить ему
                возможность совершать колебания вдоль вертикальной оси.
            \item
                Измерить с помощью секундомера время $t$ для $N$ полных
                последовательных колебаний маятника.
            \item
                Рассчитать по формуле значение коэффициента жесткости
                пружины.
            \item
                Операции, указанные в предыдущих пунктах проделать для
                трех грузов различной массы.
            \item
                Измерения провести для трёх пружин с различными 
                коэффициентами жесткости.
            \item
                Результаты прямых измерений и вычислений занести в 
                табл. \ref{table:dynamic_results}
        \end{enumerate}
    
    \item
        Значения $k_{\text{ср}}$ и $|\Delta k_{\text{ср}} |$ для каждой
        пружины, полученные статическим и динамическим методами занести в
        табл. \ref{table:compare}.
\end{enumerate}

\subsection{Результаты}

\begin{table}[H]
    \footnotesize
    \centering
    \begin{tabularx}{\textwidth}{ *{10}{|X}| }
        \hline

        № опыта & № пружины & $m$, г & $x_0$, см & $x$, см & $x - x_0$, см & $k$, г/с & $k_{\text{ср}}$, г/с & $| \Delta k |$, г/с & $| \Delta k_{\text{ср}} |$, г/с \\ \hline
        1  & \multirow{4}{*}{1} & 51  & \multirow{4}{*}{23.2} & 25.5 & 2.3  & 22173.91 & \multirow{4}{*}{24528.37} & 2354.46 & \multirow{4}{*}{1298.55} \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        2  &                    & 102 &                       & 27.2 & 4    & 25500    &                           & 971.63  &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        3  &                    & 153 &                       & 29.5 & 6.3  & 24285.71 &                           & 242.65  &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        4  &                    & 204 &                       & 31   & 7.8  & 26153.85 &                           & 1625.48 &                          \\ \hline

        5  & \multirow{4}{*}{2} & 51  & \multirow{4}{*}{24.5} & 27.2 & 2.7  & 18888.89 & \multirow{4}{*}{19593.6}  & 704.71  & \multirow{4}{*}{352.36}  \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        6  &                    & 102 &                       & 29.7 & 5.2  & 19615.38 &                           & 21.79   &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        7  &                    & 153 &                       & 32.2 & 7.7  & 19870.13 &                           & 276.53  &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        8  &                    & 204 &                       & 34.7 & 10.2 & 20000    &                           & 406.4   &                          \\ \hline

        9  & \multirow{4}{*}{3} & 51  & \multirow{4}{*}{26.5} & 29.7 & 3.2  & 15937.5  & \multirow{4}{*}{16390.51} & 453     & \multirow{4}{*}{226.5}   \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        10 &                    & 102 &                       & 32.6 & 6.1  & 16721.31 &                           & 330.8   &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        11 &                    & 153 &                       & 35.8 & 9.3  & 16451.61 &                           & 61.1    &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-3} \cline{5-7} \cline{9-9}
        12 &                    & 204 &                       & 38.9 & 12.4 & 16451.61 &                           & 61.1    &                          \\ \hline

    \end{tabularx}

    \caption{Статический метод}
    \label{table:static_results}
\end{table}

\begin{table}[H]
    \scriptsize
    \centering
    \begin{tabularx}{\textwidth}{ *{12}{|X}| }
        \hline
        
        № опыта & № пружины & $m$, г & $t$, с & $N$ & $t^2, \text{с}^2$ & $N^2$ & $4 \pi^2 N^2 / t^2$, $\text{с}^{-2}$ & $k$, г/с & $k_{\text{ср}}$, г/с & $| \Delta k |$, г/с & $| \Delta k_{\text{ср}} |$, г/с \\ \hline
        1  & \multirow{4}{*}{1} & 51  & 2.9  & \multirow{4}{*}{10}  & 8.41  & \multirow{4}{*}{100} & 469.42 & 23940.54 & \multirow{4}{*}{26517.78} & 2577.24 & \multirow{4}{*}{1923.68} \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        2  &                    & 102 & 3.97 &                      & 15.76 &                      & 250.48 & 25549.29 &                           & 968.49  &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        3  &                    & 153 & 4.8  &                      & 23    &                      & 171.35 & 26216.14 &                           & 301.64  &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        4  &                    & 204 & 5.15 &                      & 26.52 &                      & 148.85 & 30365.15 &                           & 3847.37 &                          \\ \hline

        5  & \multirow{4}{*}{2} & 51  & 3.2  & \multirow{4}{*}{10}  & 10.24 & \multirow{4}{*}{100} & 385.53 & 19662.1  & \multirow{4}{*}{19086.26} & 575.84  & \multirow{4}{*}{287.92}  \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        6  &                    & 102 & 4.6  &                      & 21.16 &                      & 186.57 & 19030.24 &                           & 56.02   &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        7  &                    & 153 & 5.7  &                      & 32.49 &                      & 121.5  & 18590.94 &                           & 495.32  &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        8  &                    & 204 & 6.5  &                      & 42.25 &                      & 93.44  & 19061.77 &                           & 24.49   &                          \\ \hline

        9  & \multirow{4}{*}{3} & 51  & 3.5  & \multirow{4}{*}{10}  & 12.25 & \multirow{4}{*}{100} & 322.27 & 16435.91 & \multirow{4}{*}{15373.51} & 1062.4  & \multirow{4}{*}{832.54}  \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        10 &                    & 102 & 5.3  &                      & 28    &                      & 140.54 & 14335.35 &                           & 1038.16 &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        11 &                    & 153 & 6.4  &                      & 40.96 &                      & 96.38  & 14746.58 &                           & 626.93  &                          \\ \cline{1-1} \cline{3-4} \cline{6-6} \cline{8-9} \cline{11-11}
        12 &                    & 204 & 7.1  &                      & 50.41 &                      & 78.31  & 15976.19 &                           & 602.68  &                          \\ \hline

    \end{tabularx}

    \caption{Динамический метод}
    \label{table:dynamic_results}
\end{table}

\begin{table}[H]
    \small
    \centering
    \begin{tabularx}{\textwidth}{ *{5}{|X}| }
        \hline
        
        \multirow{3}{*}{Номер пружины} & \multicolumn{4}{c|}{Методы}                                                                                                     \\ \cline{2-5}
                                       & \multicolumn{2}{c|}{Статический} & \multicolumn{2}{c|}{Динамический}                                                            \\ \cline{2-5}
                                       & $k_{\text{ср}}$, г/с$^2$ & $| \Delta k_{\text{ср}} |$, г/с$^2$ & $k_{\text{ср}}$, г/с$^2$ & $| \Delta k_{\text{ср}} |$, г/с$^2$ \\ \hline
        1 & 24528.37 & 1298.55 & 26517.78 & 1923.68 \\ \hline
        2 & 19593.6  & 352.36  & 19086.26 & 287.92  \\ \hline
        3 & 16390.51 & 226.5   & 15373.51 & 832.54  \\ \hline

    \end{tabularx}

    \caption{Сравнение методов}
    \label{table:compare}
\end{table}

\subsection{Вывод}

Научился измерять жесткость пружины статическим и динамическим методами.
Исходя из полученных результатов можно сделать вывод, что статический метод
является более точным, так как имеет меньшие значения погрешностей.

\subsection{Контрольные вопросы}
\begin{enumerate}
    \item 
        \textit{Какие колебания называют гармоническими?}

        \begin{itemize}
            \item 
                колебательный процесс, при котором отклонение колеблющейся
                величины происходит по закону синуса или косинуса

            \item
                колебательный процесс, для которого возвращающая сила $F$
                прямо пропорциональна отклонению $x$ тела от положения 
                равновесия, то есть движение происходит под действием
                упругой силы.
        \end{itemize}

    \item
        \textit{При каких условиях обеспечиваются гармонические колебания?
        Какими параметрами они характеризуются?}

        При отклонении от положения равновесия грузик будет совершать 
        гармонические колебания, если справедлив закон Гука, согласно которому
        сила деформации пропорциональна удлинению.

        Уравнением данного гармонического движения будет являться функция
        \[ z = A \sin (\omega t + \varphi) \]
        где $A$ -- амплитуда колебаний; $\omega t + \varphi$ -- фаза  колебаний;
        $\varphi$ -- начальная фаза колебаний, определяющая положение 
        колеблющейся точки в начальный момент времени $t = 0$.

    \item
        \textit{От каких величин зависит период колебаний пружинного маятника?}

        Формула периода колебаний маятника:
        \[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

        Таким образом, период зависит от массы груза и жесткости пружины.

    \item
        \textit{В чём состоят статический и динамический методы измерения
        коэффициента жесткости пружины?}

        При измерении коэффициента жесткости \textit{статическим} методом
        необходимо зафиксировать начальное положение $x$ пружины в состоянии
        равновесия. Далее необходимо прикрепить к ней грузы и зафиксировать
        новое положение $x_0$ пружины. По формуле $k = \frac{mg}{|x - x_0|}$
        рассчитать коэффициент жесткости.

        \textit{Динамический} метод отличается тем, что необходимо, закрепив 
        груз, вывести маятник из положения равновесия и измерить количество 
        полных колебаний за время $t$. Далее измерить жёсткость пружины по 
        формуле: $k = 4 \pi^2 N^2 \frac{m}{t^2}$. Повторить для каждой из 
        трёх разных пружин с разными грузами.
    
    \item
        \textit{В чём состоит цель измерений коэффициента жесткости
        пружины двумя методами?}

        Если измерить коэффициент двумя способами, то можно сравнить результаты
        и увеличить точность результатов опыта.

    \item
        \textit{Какими параметрами характеризуются затухающие колебания?}

        Коэффициент $\delta = \frac{h}{2m}$ характеризует быстроту затухания
        колебаний во времени и называется коэффициентом затухания. $h$ --
        коэффициент трения, $m$ -- масса колеблющегося груза.

        Кроме этого, величину быстроты затухания характеризуют логарифмическим
        декрементом затухания:
        \[ \Theta = \ln \frac{x_1}{x_2} \]
        где $\frac{x_1}{x_2}$ -- отношения отклонений маятника с разницей во 
        времени размером в период $T_1$ 
        (условный период $T_1 = \frac{2 \pi}{\omega_1}$).
\end{enumerate}


\end{document}