path: root/physics/lab5/lab5.tex

\documentclass[bachelor, och, labwork]{SCWorks}
% параметр - тип обучения - одно из значений:
%    spec     - специальность
%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
%    master   - магистратура
% параметр - форма обучения - одно из значений:
%    och   - очное (по умолчанию)
%    zaoch - заочное
% параметр - тип работы - одно из значений:
%    referat    - реферат
%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)
%    diploma    - дипломная работа
%    pract      - отчет по практике
% параметр - включение шрифта
%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
%               по умолчанию выключен

\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz,pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.5}
\usepackage{float}

%\usepackage{titlesec}
\setcounter{secnumdepth}{4}
%\titleformat{\paragraph}
%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
%\titlespacing*{\paragraph}
%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}

\titleformat{\paragraph}[block]
{\hspace{1.25cm}\normalfont}
{\theparagraph}{1ex}{}
\titlespacing{\paragraph}
{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}

% --------------------------------------------------------------------------%


\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{tempora}

\usepackage[sort,compress]{cite}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{listings}
\usepackage{listingsutf8}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{array}
\usepackage[english,russian]{babel}

% \usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{url}

\newcolumntype{Y}{>{\centering\arraybackslash}X}

\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
\newcommand{\dsint}{\displaystyle\int}

\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}

\newtheorem{lem}{Лемма}

\begin{document}

% Кафедра (в родительном падеже)
\chair{}

% Тема работы
\title{Измерение ускорения силы тяжести}

% Курс
\course{1}

% Группа
\group{131}

% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
\department{факультета КНиИТ}

% Специальность/направление код - наименование
%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
\napravlenie{090301 "--- Компьютерная безопасность}

% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
% \studenttitle{Студентки}

% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
\author{Гущина Андрея Юрьевича}

% Заведующий кафедрой
% \chtitle{} % степень, звание
% \chname{}

%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
\satitle{доцент} %должность, степень, звание
\saname{В. В. Шунаев}

% Руководитель практики от организации (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
% \patitle{к.ф.-м.н.}
% \paname{С.~В.~Миронов}

% Семестр (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\term{8}

% Наименование практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practtype{преддипломная}

% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
%\duration{4}

% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practStart{30.04.2019}
%\practFinish{27.05.2019}

% Год выполнения отчета
\date{2020}

\maketitle

% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
% (по умолчанию - нумерация сквозная)
% (допускается оба вида нумерации)
% \secNumbering


% \tableofcontents

\section{Лабораторная работа \#5}

\textbf{Цель работы}: изучение колебаний физического маятника, определение
ускорения силы тяжести с помощью маятника-стержня, оценка точности метода
измерения.

\textbf{Принадлежности}: маятник-стержень, секундомер.

\subsection{Ход работы}

Построил график зависимости периода колебаний от расстояния между точкой 
подвеса и центром тяжести. На нём выбрал пять сечений и построил точки
пересечения этих линий с первым графиком. Эти значения возьму как значения
$a_2$ для вычислений.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=\textwidth]{plot.png}
    \caption{}
    \label{fig:plot}
\end{figure}

По рабочей формуле (\ref{eq:working}) вычислил значение ускорения свободного
падения $g$ и занёс в табл. \ref{tbl:results}.
\begin{equation}
    \label{eq:working}
    g = \frac{4 \pi^2 (a_1 + a_2)}{T_0^2}
\end{equation}

\subsection{Результаты опытов}

\begin{table}[H]
    \small
    \centering

    \begin{tabularx}{\textwidth}{ |c|Y|c|c| }
        \hline
        № опыта & Расстояние от точки подвеса до центра тяжести $a$, см & Время 10 периодов $t$, с & Период колебаний $T$, с \\
        \hline
        1  & 25.5 & 11.6  & 1.16  \\ \hline
        2  & 23.5 & 11.2  & 1.12  \\ \hline
        3  & 21.5 & 11.03 & 1.103 \\ \hline
        4  & 19.5 & 10.9  & 1.09  \\ \hline
        5  & 17.5 & 10.74 & 1.074 \\ \hline

        6  & 15.5 & 10.65 & 1.065 \\ \hline
        7  & 13.5 & 10.7  & 1.07  \\ \hline
        8  & 11.5 & 10.8  & 1.08  \\ \hline
        9  & 9.5  & 11.26 & 1.126 \\ \hline
        10 & 7.5  & 11.7  & 1.17  \\ \hline
    \end{tabularx}

    \caption{Периоды колебания физ. маятника}
\end{table}

\begin{table}[H]
    \small
    \centering

    \begin{tabularx}{\textwidth}{ |Y|Y|Y|Y|Y|Y| }
        \hline
        Сечение графика & $T_0$, с & $a_1$, см & $a_2$, см & $g$, см/с$^2$ & $g_{\text{ср}}$, см/с$^2$ \\
        \hline
        1  & 1.074 & 25.5 & 7.94  & 1144.504 & \multirow{5}{*}{1026.9024} \\ \cline{1-5}
        2  & 1.09  & 23.5 & 9.73  & 1104.173 &                            \\ \cline{1-5}
        3  & 1.103 & 21.5 & 10.49 & 1038.061 &                            \\ \cline{1-5}
        4  & 1.12  & 19.5 & 11.04 & 961.153  &                            \\ \cline{1-5}
        5  & 1.16  & 17.5 & 12.72 & 886.621  &                            \\ \hline
    \end{tabularx}

    \caption{Сечения графика}
    \label{tbl:results}
\end{table}

Табличное значние $g = 981$ см/с$^2$. Полученное значение $g = 1026.9$ см/с$^2$
отличается от него на $4.68\%$.

\subsection{Вывод}
Изучил колебания физического маятника, определил ускорение силы тяжести с
помощью маятника стержня. Результат измерения отличается от табличного значения
на $5\%$ по причине неточности измерений. Человеческий фактор влияет на
данные нам значения периода колебаний и вычисленные по графику значения $a_2$.

\section{Контрольные вопросы}

\begin{enumerate}
    \item 
        \textit{Что называется физическим маятником?}

        Физический маятник -- любое тело, которое может колебаться относительно
        горизонтальной оси под действием силы тяжести.

    \item
        \textit{Приведите формулу периода колебаний физического маятника и 
        объясните ход кривой зависимости периода колебаний от расстояния 
        между точкой подвеса и центром тяжести маятника-стержня.}

        Полный период колебаний физического маятника:
        \begin{equation}
            T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{Pa}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{mga}}
            \label{eq:phys_pend}
        \end{equation}

        Для случая математического маятника-грузика малых размеров имеем $a = l$
        и $I = ml^2$, где $m$ и $l$ -- соответственно масса грузика и длина
        нити маятника. Тогда получим:

        \begin{equation}
            T = 2 \pi \sqrt{\frac{m l^2}{mgl}} = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
            \label{eq:math_pend}
        \end{equation}
        
        Отсюда вытекает, что периоды колебаний физического и математического
        маятников будут равны, если $l = \frac{I}{ma}$.

        Эта величина носит название ``приведённой длины физического маятника''
        и равна длине математического маятника с тем же периодом колебаний.
        
        Но данные соотношения справедливы лишь для малых углов отклонения.
        В противном случае период колебания будет зависеть от угла $\varphi$.
        Таким образом, период колебаний математического маятника:

        \begin{equation}
            T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}
            \left(
                1 + \frac{1}{4} \sin^2 \frac{\varphi}{2}
            \right)
            \label{eq:math_pend_phi}
        \end{equation}

        Преобразуем выражение (\ref{eq:phys_pend}). По теореме Штейнера момент
        инерции тела $I$ можно представить как

        \begin{equation*}
            I = I_0 + ma^2
        \end{equation*}

        где $I_0$ -- момент инерции тела относительно оси, параллельной оси
        вращения и проходящей через точку $a$ -- центр тяжести тела.

        Тогда формула (\ref{eq:phys_pend}) примет вид
        \begin{equation}
            T = 2 \pi \sqrt{\frac{I_0 + m a^2}{mga}}
            \label{eq:phys_pend_2}
        \end{equation}

        При достаточно малых значениях $a$, когда выполняется условие 
        $ma_2 << l_0$ из равенства (\ref{eq:phys_pend_2}) имеем
        \begin{equation}
            T \simeq 2 \pi \sqrt{\frac{l_0}{mga}} \sim a^{-\frac{1}{2}}
        \end{equation}

        Следовательно, с увеличением значения $a$ значение периода колебания $T$
        будет уменьшаться. При небольших значениях $a$ рост момента инерции не
        оказывает решающего влияния на изменение периода колебаний, и 
        наблюдается спад кривой. Но начиная с $a = a_0$, рост момента инерции
        оказывает большее влияние на период колебаний, чем влияние возвращающего
        момента $M$, и имеет место подъём кривой (рис. \ref{fig:curve}).

        \begin{figure}[H]
            \centering
            \includegraphics[width=0.5\textwidth]{curve.png}
            \caption{}
            \label{fig:curve}
        \end{figure}

    \item
        \textit{Что такое ускорение силы тяжести и какими факторами оно
        определяется?}

        Ускорение силы тяжести (или ускорение свободного падения) -- ускорение, 
        придаваемое телу силой тяжести, при исключении из рассмотрения других 
        сил.

        Ускорение свободного падения у поверхности Земли зависит от широты, 
        времени суток, атмосферного давления и других факторов. Приблизительно 
        оно может быть вычислено (в м/с$^2$) по эмпирической формуле:
        \begin{equation*}
            g = 9.780318  \cdot
            (1 + 0.005302 \sin^2 \varphi - 0.000006 \sin^2 2 \varphi)
            - 0.000003086 h
        \end{equation*}
        где $\varphi$ -- широта рассматриваемого места,
        $h$ -- высота над уровнем моря в метрах.

        В соответствии с законом всемирного тяготения, оно вычисляется по формуле
        \begin{equation*}
            g = G \frac{M}{(r + h)^2}
        \end{equation*}
        где $G$ -- гравитационная постоянная, $M$ -- масса планеты,
        $r$ -- радиус планеты, $h$ -- высота тела над поверхностью планеты.

    \item
        \textit{Как определить ускорение силы тяжести по кривой зависимости 
        периода колебаний маятника-стержня от расстояния между точкой подвеса
        и центром тяжести маятника?}

        Если маятник подвешен сначала на расстоянии $a_1$ от центра тяжести, а 
        затем на расстоянии $a_2$, то соответствующие периоды будут иметь вид        
        \begin{equation}
            \left.
            \begin{array}{lr}
                T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{I_0 + m a_1^2}{m g a_1}} \\
                T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{I_0 + m a_2^2}{m g a_2}}
            \end{array} \right\}
            \label{eq:t_system}
        \end{equation}
        
        Из системы (\ref{eq:t_system}), исключив $I_0$ можно определить величину
        $g$ -- ускорение свободного падения:
        \begin{equation}
            \frac{4 \pi^2 (a_1^2 - a_2^2)}{a_1 T_1^2 - a_2 T_2^2}
        \end{equation}

    \item
        \textit{Каковы причины систематической погрешности при избранном методе
        измерения ускорения?}

        Неточность измерения периода колебаний, неточность определения 
        вторых значений расстояния $a$ по графику.

        При измерении с помощью установки появляется систематическая погрешность
        из-за пренебрежения начичием опорных призм. Эта погрешность имеет вид:
        \begin{equation}
            \Delta g_{\text{сист}} = 
            \frac{3 m_2 - m_3}{m_1 + m_2 + m_3} \cdot
            4 \pi^2 \frac{a_1 + a_2}{T_0^2}
        \end{equation}
        где $m_1$, $m_2$, $m_3$ -- массы стержня, нижней и верхней призмы
        соответственно.
\end{enumerate}

\end{document}