path: root/physics/sem3/lab3/lab3.tex

\documentclass[bachelor, och, labwork]{SCWorks}
% параметр - тип обучения - одно из значений:
%    spec     - специальность
%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)
%    master   - магистратура
% параметр - форма обучения - одно из значений:
%    och   - очное (по умолчанию)
%    zaoch - заочное
% параметр - тип работы - одно из значений:
%    referat    - реферат
%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)
%    diploma    - дипломная работа
%    pract      - отчет по практике
% параметр - включение шрифта
%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)
%               по умолчанию выключен

\usepackage{subfigure}
\usepackage{tikz,pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.5}
\usepackage{float}

%\usepackage{titlesec}
\setcounter{secnumdepth}{4}
%\titleformat{\paragraph}
%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}
%\titlespacing*{\paragraph}
%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}

\titleformat{\paragraph}[block]
{\hspace{1.25cm}\normalfont}
{\theparagraph}{1ex}{}
\titlespacing{\paragraph}
{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}

% --------------------------------------------------------------------------%


\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{tempora}

\usepackage[sort,compress]{cite}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{listings}
\usepackage{listingsutf8}
\usepackage{longtable}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{array}
\usepackage[english,russian]{babel}

% \usepackage[colorlinks=true]{hyperref}
\usepackage{url}

\usepackage{enumitem}


\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}
\newcommand{\dsint}{\displaystyle\int}

\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}

\newtheorem{lem}{Лемма}

\begin{document}

% Кафедра (в родительном падеже)
\chair{}

% Тема работы
\title{Методы расчета токов и напряжений в линейных электрических цепях}

% Курс
\course{2}

% Группа
\group{231}

% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")
\department{факультета КНиИТ}

% Специальность/направление код - наименование
%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}
%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}
%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}
%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}
\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность}

% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.
% \studenttitle{Студентки}

% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже
\author{Гущина Андрея Юрьевича}

% Заведующий кафедрой
% \chtitle{} % степень, звание
% \chname{}

%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)
\satitle{доцент} %должность, степень, звание
\saname{В. В. Шунаев}

% Руководитель практики от организации (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
% \patitle{к.ф.-м.н.}
% \paname{С.~В.~Миронов}

% Семестр (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\term{8}

% Наименование практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practtype{преддипломная}

% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,
% для остальных типов работ не используется)
%\duration{4}

% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных
% типов работ не используется)
%\practStart{30.04.2019}
%\practFinish{27.05.2019}

% Год выполнения отчета
\date{2020}

\maketitle

% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам
% (по умолчанию - нумерация сквозная)
% (допускается оба вида нумерации)
% \secNumbering


% \tableofcontents

\section{Лабораторная работа \#3}
\textbf{Цель работы: } ознакомление с основными понятиями теории линейных 
электрических цепей. Освоение расчета токов и напряжений по методам контурных 
токов и узловых напряжений.

\subsection{Краткая теория}

\textbf{Метод контурных токов}

В случае, когда электрическая цепь содержит только источники напряжения и не
имеет пересекающихся ветвей, токи в такой цепи целесообразно определять по 
методу контурных токов, представляющих собой математическую абстракцию. 
Применение этого метода предпочтительно, когда число узлов цепи превышает 
число ее контуров. 

На рис. \ref{img:example} изображена электрическая цепь с отмеченными 
контурами 1, 2 и контурными токами $I_1$, $I_2$, которые соответственно в элементах 
с сопротивлениями $R_1$ и $R_2$ совпадают с истинными токами, а в элементе с 
сопротивлением $R_3$ ток равен разности контурных токов $I_1 - I_2$. Направления 
контурных токов обычно выбираются одинаковыми, например, по часовой стрелке.

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{kirhgof.png}
    \caption{Электрические цепи: контурные токи}
    \label{img:example}
\end{figure}


Для первого контура, также при обходе по часовой стрелке, согласно второму 
закону Кирхгофа имеем: 
\[ R_1 I_1 + R_3 (I_1 - I_2) = \varepsilon_1 \]
или $R_{11} I_1 + R_{12} I_2 = \varepsilon_1$, где $R_{11} = R_1 + R_3$ ---
условно называемое собственным полное сопротивление первого контура, равное
сумме сопротивлений, входящих в первый контур; 
$R_{12} = -R_3$ --- взаимное сопротивление между первым и вторым контурами.

Для второго контура, также при обходе по часовой стрелке, получаем:
\[ R_2 I_2 + R_3 (I_2 - I_1) = \varepsilon_2 \] 
или $R_{21} I_1 + R_{22} I_2 = \varepsilon_2$, где $R_{22} = R_2 + R_3$ ---
условно называемое собственным полное сопротивление второго контура, равное
сумме сопротивлений, входящих во второй контур; 
$R_{21} = -R_3$ --- взаимное сопротивление между вторым и первым контурами.

В силу непрерывности контурных токов первый закон Кирхгофа, в узлах
выполняется автоматически.

\subsection{Ход работы}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=0.8\textwidth]{scheme.png}
    \caption{Монтажная схема установки}
    \label{img:scheme-1}
\end{figure}

Из таблицы 3.1 возьмём значения индуктивности катушки, ёмкостей конденсаторов, 
активных сопротивлений и частоты генератора:
Частота $\nu = 1$ кГц, $\varepsilon_1 = \varepsilon_2 = 5$ В,
$R_1 = 10$ кОм, $R_2 = 1.5$ кОм, $R_3 = 7.5$ кОм,
$R_4 = 3.0$ кОм, $R_5 = 2.0$ кОм, $R_6 = 0.3$ кОм.

Для применения правил Кирхгофа сделаем обход в кажом из трёх контуров
по часовой стрелке. В результате получим следующую систему уравнений:
\begin{equation*}
    \begin{cases}
        R_1 I_1 + R_2 I_1 + R_3 (I_1 - I_2) = \varepsilon_1 \\
        R_5 I_2 + R_4 (I_2 - I_3) + R_3 (I_2 - I_1) = 0 \\
        R_6 I_3 + R_4 (I_3 - I_2) = \varepsilon_2
    \end{cases} =
\end{equation*}
\begin{equation*}
    = \begin{cases}
        R_1 I_1 + R_2 I_1 + R_3 I_1 - R_3 I_2 = \varepsilon_1 \\
        R_5 I_2 + R_4 I_2 - R_4 I_3 + R_3 I_2 - R_3 I_1 = 0 \\
        R_6 I_3 + R_4 I_3 - R_4 I_2 = \varepsilon_2
    \end{cases} = 
\end{equation*}
\begin{equation*}
    = \begin{cases}
        I_1 (R_1 + R_2 + R_3) - I_2 R_3 = \varepsilon_1 \\
        I_2 (R_5 + R_4 + R_3) - I_3 R_4 - I_1 R_3 = 0 \\
        I_3 (R_6 + R_4) - I_2 R_4 = \varepsilon_2
    \end{cases}
\end{equation*}

Подставив значения напряжений на резисторах, и значения ЭДС получим
следующую систему уравнений:
\begin{equation*}
    \begin{cases}
        19 I_1 - 7.5 I_2 = 5 \\
        -7.5 I_1 + 12.5 I_2 - 3 I_3 = 0 \\
        -3 I_2 + 3.3 I_3 = 5
    \end{cases}
\end{equation*}

Решив эту систему, получим значения силы тока в каждом из контуров:
$I_1 \approx 0.64$ мА, $I_2 \approx 0.96$ мА, $I_3 \approx 2.39$ мА.

По формуле $U = R \cdot I$ посчитаем значение падения напряжения на кажом из
элементов цепи:
$U_1 = R_1 \cdot I_1 = 6.4$ В, 
$U_2 = R_2 \cdot I_1 = 0.96$ В, 
$U_3 = R_3 \cdot (I_1 - I_2) = 2.4$ В, 
$U_4 = R_4 \cdot (I_2 - I_3) = 4.29$ В, 
$U_5 = R_5 \cdot I_2 = 1.92$ В, 
$U_6 = R_6 \cdot I_3 = 0.72$ В.

Собираем схему, изображённую на рис. \ref{img:scheme-1}, и соединяем 
потенциальный зажим вольтметра с клеммой $K_1$. Установим необходимое
напряжение источника $E_1$. Зафиксируем значение $U_{K_1} = 5$ В.
Далее последовательно подключаем потенциальный зажим вольтметра к клеммам
$K_3,\, K_5,\, K_7,\, K_9$. Зафиксируем значения напряжения на каждой клемме:
$U_{K_3} = 1.35$ В, $U_{K_5} = 2.2$ В, $U_{K_7} = 4.1$ В, $U_{K_9} = 4.8$ В.

Сопоставляя полученные значения с вычисленными, получим:
$U_1 = U_{K_1} + U_{K_3}$, 
$U_2 = U_{K_5} - U_{K_3}$, 
$U_3 = U_{K_5}$,
$U_4 = U_{K_7}$,
$U_5 = U_{K_7} - U_{K_5}$,
$U_6 = U_{K_9} - U_{K_7}$.
Полученные результаты занесём в таблицу \ref{table:result}.

\begin{table}[H]
    \footnotesize
    \centering
    \begin{tabularx}{\textwidth}{ *{7}{|X}| }
        \hline
                            & $U_1$   & $U_2$   & $U_3$  & $U_4$   & $U_5$  & $U_6$  \\ \hline
        Расчётные значения  & $6.4$   & $0.96$  & $2.4$  & $4.29$  & $1.92$ & $0.72$ \\ \hline
        Измеренные значения & $6.3$   & $0.9$   & $2.2$  & $4.1$   & $1.9$  & $0.7$  \\ \hline
        $\Delta A$          & $0.1$   & $0.06$  & $0.2$  & $0.19$  & $0.02$ & $0.02$ \\ \hline
        $\delta$            & $0.015$ & $0.067$ & $0.09$ & $0.046$ & $0.01$ & $0.03$ \\ \hline
    \end{tabularx}

    \caption{Сопоставление рассчётных и измеренных значений}
    \label{table:result}
\end{table}

\subsection{Вывод}
Максимальные абсолютная и относительная погрешности соответственно
равны $0.2$ В и $0.09$ В. Погрешность связана с неидеальностью оборудования.

\subsection{Контрольные вопросы}

\begin{enumerate}
    \item \textit{В чём заключаются особенности линейных электрических цепей?}
    
    Линейная электрическая цепью - это цепь, содержащая только линейные элементы. 
    В таких электрических цепях, согласно закону Ома, ток прямо 
    пропорционален приложенному напряжению.

    \item \textit{Что называют сложной электрической цепью?}
    
    Сложной электрической цепью, называется такая цепь, которую
    нельзя свести путем эквивалентного преобразования к последовательному
    или параллельному соединению ветвей, содержащих элементы.
    
    \item \textit{Формулировка законов Кирхгофа. Число независимых уравнений.}
    
    Первый из этих законов,
    отражающий принцип непрерывности токов, гласит: алгебраическая сумма
    мгновенных значений токов в любом узле электрической цепи и задающих
    токов, подключенных к нему источников, равна нулю. Общее число
    независимых уравнений, которое можно составить по первому закону
    Кирхгофа для заданной цепи, на единицу меньше числа узлов цепи $(N_y - 1)$.

    Второй закон Кирхгофа, отражающий закон сохранения энергии,
    сводится к следующему: алгебраическая сумма мгновенных значений
    напряжений в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме
    ЭДС его источников напряжения. Общее число независимых уравнений,
    которое можно составить по второму закону Кирхгофа, на единицу больше
    разности числа ветвей и узлов $(N_B - N_y + 1)$.

    \newpage
    \item \textit{В чём состоят особенности записи законов Кирхгофа в символической
    форме?}

    Установившиеся состояния в линейных электрических цепях при
    гармоническом воздействии описываются уравнениями Кирхгофа, которые в
    символической форме могут быть записаны в следующем виде:
    \[ \sum_{k=1}^n I_k + \sum_{k=1}^p Y_k = 0  \quad \sum_{k=1}^m J_k R_k = \sum_{k=1}^l \varepsilon_k \]
    $J_k$ – значение тока на сопротивлении $k$ (всего их $n$ штук);

    $Y_k$ – значение задающего тока $k$ (всего их $p$ штук);

    $R_k$ – полное сопротивление $k$-й ветви (всего $m$ штук);

    $\varepsilon_k$ – значение $k$-й электродвижущей силы (всего $l$ штук).

    \item \textit{В чём состоит метод контурных токов?}
    
    Метод контурных токов заключается в определении по второму закону Кирхгофа 
    контурных токов. Для каждого контура цепи задают ток, который остается 
    неизменным. В цепи протекает столько контурных токов, сколько независимых 
    контуров в ней содержится. Направление контурного тока выбирают произвольно.

    Контурные токи, проходя через узел, остаются непрерывными. Следовательно, 
    первый закон Кирхгофа выполняется автоматически. Уравнения с контурными 
    токами записываются только для второго закона Кирхгофа. Число уравнений, 
    составленных по методу контурных токов, меньше чем по методу законов 
    Кирхгофа. Таким образом, этот метод заключается в сокращении размерности 
    системы уравнений, описывающей электрическую цепь.

    \item \textit{В чём состоит метод узловых напряжений?}
    
    Метод узловых напряжений заключается в определении на основании первого 
    закона Кирхгофа потенциалов в узлах электрической цепи относительного 
    некоторого опорного узла. Опорный узел -- это тот узел, к которому
    присоединено наибольшее количество элементов. Напряжения в узлах 
    отсчитываются относительно опорного узла. Разности потенциалов 
    рассматриваемого и опорного узлов называется узловым напряжением.

\end{enumerate}

\end{document}