1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
|
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %
\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №10}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}
\begin{document}
\maketitle
\section{Задание}
Осуществить построение большого простого числа с
использованием теоремы Поклингтона.
\section{Алгоритм}
Критерий Поклингтона — детерминированный тест на простоту, разработанный
Генри Поклингтоном и Дерриком Генри Лехмером. Критерий Поклингтона
позволяет определять, является ли данное число простым.
Пусть $n$ — натуральное число. Пусть число $n-1$ имеет простой делитель
$q$, причем ${\displaystyle q>{\sqrt {n}}-1}$. Если найдётся такое целое
число $a$, что выполняются следующие два условия:
\begin{enumerate}
\item $a^{n-1} \equiv 1 \pmod n$
\item числа $n$ и $a^{(n-1)/q}-1$ взаимнопросты
\end{enumerate}
тогда $n$ - простое число.
Практическая реализация основана на выборе случайного числа в
диапазоне значений от $2^{b - 1} + 1$ до $2^b - 1$ (где $b$ определяет
число бит генерируемого простого числа). Далее это число проверяется на
наличие небольших простых делителей (простые числа меньше 500), и если
таких делителей не найдено, осуществляется проверка с помощью теоремы
Поклингтона. Для этого перед запуском программы вводится значение
верхнего порога $a$, определяющее, что в рамках проверки на простоту с
помощью теоремы Поклингтона будут использоваться целые числа, значение
которых не превосходит $a$. Если число проходит тест, значит оно
является сгенерированным простым числом. Если же число не проходит тест
или у него есть делители среди небольших первых простых чисел, то выбирается
другое число из этого диапазона, пока выбранное число не будет проходить
тест успешно.
\section{Реализация}
\inputminted{python}{../../lab10/lab10.py}
\section{Тестирование}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{test10.png}
\end{figure}
\end{document}
|
