1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
|
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %
\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №12}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}
\begin{document}
\maketitle
\section{Задача}
Осуществить факторизацию с помощью алгоритма Диксона.
\section{Алгоритм}
Алгоритм Диксона — алгоритм факторизации, использующий
в своей основе идею Лежандра, заключающуюся в поиске пары целых чисел
$x$ и $y$ таких, что $x^2 \equiv y^2\pmod{n}$ и $x \not\equiv \pm
y\pmod{n}$. Он является обобщением метода Ферма.
В общем виде алгоритм можно представить следующим образом:
\begin{enumerate}
\item
Составить факторную базу ${\displaystyle \mathrm {B}
=\left\{{p_{1},p_{2},\dots ,p_{h}}\right\}}$, состоящую из всех
простых чисел ${\displaystyle p \leq M = L\left({n}\right)^{\frac
{1}{2}}}$, где ${\displaystyle L\left({n}\right)=\exp {\left({\sqrt
{\ln {n}\cdot \ln {\ln {n}}}}\right)}}$.
\item Выбрать такое случайное $b$, что $\sqrt{n}<b<n$.
\item Вычислить $a = b^2\bmod{n}$.
\item
Проверить число $a$ на гладкость пробными делениями. Если $a$ является
$\mathrm{B}$-гладким числом, то есть $a = \prod_{p\in
\mathrm{B}}p^{\alpha_{p}\left({b}\right)}$, следует запомнить вектора
$\vec{\alpha}(b)$ и $\vec{\varepsilon}(b)$
\item
Повторять процедуру генерации чисел $b$ до тех пор, пока не
будет найдено $h+1$ $\mathrm{B}$-гладких чисел $b_1,...,b_{h+1}$.
\item
Методом Гаусса найти линейную зависимость среди векторов
$\vec{\varepsilon}(b_1), \dots, \vec{\varepsilon}(b_{h+1})$ и положить:
\begin{align*}
x &= b_{i_1} \dots b_{i_t}\bmod{n} \\
y &= \prod_{p \in \mathrm{B}}
p^{\frac{(\alpha_p (b_{i_1}) + \dots + \alpha_p(b_{i_t}))}{2}}\pmod{n}.
\end{align*}
\item
Проверить $x \equiv \pm y \pmod{n}$. Если это так, то повторить
процедуру генерации. Если нет, то найдено нетривиальное разложение:
\[{\displaystyle n=u\cdot v, u=gcd\left({x+y,n}\right),
v=gcd\left({x-y,n}\right).}\]
\end{enumerate}
\section{Реализация}
\inputminted{python}{../../lab12/lab12.py}
\section{Тестирование}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{test12.png}
\end{figure}
\end{document}
|
