1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
|
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %
\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №6}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}
\begin{document}
\maketitle
\section{Задача}
Осуществить проверку чисел на простоту с помощью теста Соловея"=Штрассена.
\section{Алгоритм}
Тест Соловея"=Штрассена опирается на малую теорему Ферма и свойства символа
Якоби:
Если $n$ --- нечетное составное число, то количество целых чисел $a$,
взаимнопростых с $n$ и меньших $n$, удовлетворяющих сравнению $a^{(n - 1) / 2}
\equiv \left(\frac{a}{n}\right) \pmod{n}$, не превосходит $\frac{n}{2}$, где
$\left(\frac{a}{n}\right)$ --- символ Якоби.
Алгоритм Соловея"=Штрассена параметризуется количеством раундов $k$. В каждом
раунде случайным образом выбирается число $a < n$. Если $\text{НОД} (a, n) >
1$, то выносится решение, что $n$ составное. Иначе проверяется справедливость
сравнения $\displaystyle a^{(n - 1) / 2}\equiv \left(\frac{a}{n}\right) \pmod
{n}$. Если оно не выполняется, то выносится решение, что $n$ --- составное. Если
это сравнение выполняется, то $a$ является свидетелем простоты числа $n$. Далее
выбирается другое случайное $a$ и процедура повторяется. После нахождения $k$
свидетелей простоты в $k$ раундах выносится заключение, что $n$ является простым
числом с вероятностью $\displaystyle 1 - 2^{-k}$.
\section{Реализация}
Для реализации вычисления символа Якоби необходимо было реализовать вычисление
символа Лежандра, а также использовать некоторый алгоритм факторизации числа.
Для факторизации был выбран и реализован алгоритм Лемана.
\inputminted[fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos]{rust}{../../lab6/src/main.rs}
\section{Тестирование}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{test.png}
\end{figure}
\end{document}
|
