1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
|
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %
\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №8}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}
\begin{document}
\maketitle
\section{Задача}
Осуществить проверку чисел на простоту с помощью
полиномиального теста распознавания простоты.
\section{Алгоритм}
Тест Агравала — Каяла — Саксены (тест AKS) — единственный известный на
данный момент универсальный (то есть применимый ко всем числам)
полиномиальный, детерминированный и безусловный (то есть не зависящий от
недоказанных гипотез) тест простоты чисел, основанный на обобщении малой
теоремы Ферма на многочлены.
Если существует ${\displaystyle r\in \mathbb {Z}}$ такое, что
${\displaystyle o_{r}(n)>\log ^{2}n}$ и для любого ${\displaystyle a}$
от 1 до ${\displaystyle \left\lfloor {\sqrt {\varphi (r) }} \log(n)
\right \rfloor }$ выполняется сравнение ${\displaystyle (x+a)^{n}\equiv
(x^{n}+a){\pmod {x^{r}-1,\;n}}}$, то ${\displaystyle n}$ — либо простое
число, либо степень простого числа.
Здесь и далее ${\displaystyle o_{r}(n)}$ обозначает показатель числа
${\displaystyle n}$ по модулю ${\displaystyle r}$, $\log$ — двоичный
логарифм и $\varphi (\cdot )$ — функция Эйлера.
Сравнение по двум модулям вида \[{\displaystyle a(x)\equiv b(x){\pmod
{h(x),\;n}}}\] для многочленов ${\displaystyle a(x),\;b(x)\in \mathbb
{Z} [x]}$ означает, что существует ${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z}
[x]}$ такой, что все коэффициенты многочлена ${\displaystyle a(x) - b(x)
- g(x)h(x)}$ кратны $n$, где $\mathbb {Z} [x]$ — кольцо многочленов от
$x$ над целыми числами.
\textbf{Показателем}, или \textbf{мультипликативным порядком}, целого
числа $a$ по модулю $m$ называется наименьшее положительное целое число
$\ell$, такое, что ${\displaystyle a^{\ell }\equiv 1{\pmod {m}}.}$
В общем виде алгоритм можно представить следующим образом:
\begin{enumerate}
\item Подается на проверку число $n$.
\item Проверить, является ли $n$ степенью числа: если $n = a^b$ для
целых чисел $a > 1$, $b > 1$. Если да, вернуть ''составное''.
\item Найти такое наименьшее $r$ (взаимнопростое с $n$), что
$o_{r}(n) > (log_2 \; n)^2$.
\item Если $1 < $НОД$(a,\;n) < n$ для некоторого $a \leq r$,
вернуть ''составное''.
\item Если $n\leq r$, вернуть ''простое''.
\item Если для всех $a$ от $1$ до $\left\lfloor {\sqrt {\varphi
(r)}}\log(n)\right\rfloor$ верно, что $(x+a)^{n}\equiv x^{n}+a{\pmod
{x^{r}-1,\;n}}$, вернуть ''простое''.
\item Иначе вернуть ''составное''.
\end{enumerate}
Для вычисления коэффициентов многочлена, полученного из $(x+a)^{n}\equiv
x^{n}+a{\pmod {x^{r}-1,\;n}}$, с целью проверки их делимости на
исследуемое число $n$ использовался треугольник Паскаля.
\section{Реализация}
\inputminted{python}{../../lab8/lab8.py}
\section{Тестирование}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{test8.png}
\end{figure}
\end{document}
|
