Лекции по моделям безопасности и методам алгебраической геометрии

1 files changed, 92 insertions, 0 deletions

diff --git a/crypto-algebra/lectures/lecture4.tex b/crypto-algebra/lectures/lecture4.tex
new file mode 100644
index 0000000..88feafe
--- /dev/null
+++ b/crypto-algebra/lectures/lecture4.tex
@@ -0,0 +1,92 @@
+% Лекция 4 (18.09.23)
+
+\paragraph{Модель решётки.}
+
+Пусть $X$ --- конечное множество. Бинарное отношение <<$\leq$>> на множестве $X$
+называется \emph{отношением частичного порядка}, когда для любых $a, b, c \in X$
+выполняются три свойства:
+\begin{enumerate}
+  \item рефлексивность: $a \leq a$;
+  \item транзитивность: $(a \leq b, b \leq c) \implies (a \leq c)$;
+  \item антисимметричность: $(a \leq b, b \leq a) \implies (a = b)$.
+\end{enumerate}
+
+Множество $X$ с заданной на нём частичной упорядоченностью называется
+\emph{частично упорядоченным}.
+
+Если $a, b \in X$ и $a \leq b$, то, в зависимости от обстоятельств, говорят,
+что $a$ \emph{меньше или равно} $b$, $a$ \emph{содержится в} $b$, $a$
+\emph{предшествует} $b$.
+
+Для $a, b \in X$ элемент $c = a \oplus b \in X$ называется \emph{наименьшей
+верхней гранью}, когда выполняются условия:
+\begin{enumerate}
+  \item $a \leq c, b \leq c$;
+  \item для $d \in X$ истинно $(a \leq d, b \leq d) \implies (c \leq d)$.
+\end{enumerate}
+
+Для $a, b \in X$ элемент $c = a \otimes b \in X$ называется \emph{наибольшей
+нижней гранью}, когда выполняются условия:
+\begin{enumerate}
+  \item $c \leq a, c \leq b$;
+  \item для $d \in X$ истинно $(d \leq a, d \leq b) \implies (d \leq c)$.
+\end{enumerate}
+
+Для пары элементов частично упорядоченного множества $X$ не обязательно
+существует наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань, но, если она
+существует, то из антисимметричности следует её единственность.
+
+Эти элементы называют также \emph{точными} (\emph{верхней} и \emph{нижней}
+соответственно) \emph{гранями} подмножества $X^* \subseteq X$.
+
+Пусть $X$ --- частично упорядоченное множество. $(X, \leq)$ называется
+\emph{решёткой}, если каждое его конечное подмножество имеет точную нижнюю и
+точную верхнюю грани, то есть, когда $\forall a, b \in X$ существуют
+$a \otimes b \in X$ и $a \oplus b \in X$.
+
+\begin{lemma} %% TODO: пронумеровать (лемма 1)
+  Для любого набора $S = \set{a_1, a_2, \dots, a_n}$ элементов решётки $(X,
+  \leq)$ существуют единственные элементы:
+  \begin{itemize}
+    \item
+      $\oplus S = a_1 \oplus a_2 \oplus \dots \oplus a_n$ --- наименьшая
+      верхняя грань $S$;
+    \item
+      $\otimes S = a_1 \otimes a_2 \otimes \dots \otimes a_n$ --- наибольшая
+      нижняя грань $S$.
+  \end{itemize}
+\end{lemma}
+
+Для решётки $(X, \leq)$ существует максимальный элемент $high = \oplus X$ и
+минимальный элемент $low = \otimes X$.
+
+\emph{Линейная решётка (линейная шкала)} из $n$ элементов --- это линейное
+упорядоченное множество; можно всегда считать $X = \set{0, 1, \dots, n}$.
+
+Как правило, решётки представляют с помощью ориентированных графов. При этом
+вершинами графа являются элементы множества $X$, и если для $a_1, a_2 \in X$
+справедливо неравенство $a_1 \leq a_2$, то в графе существует путь из $a_1$ в
+$a_2$.
+
+Частным важным случаем решёток является \emph{решётка подмножеств некоторого
+конечного множества $U$}. Пусть $U$ --- конечное множество, $X = 2^{U}$ ---
+множество всех подмножеств множества $U$. Определим решётку $(X, \leq)$ с
+бинарным отношением частичного порядка <<$\leq$>>, где для $a, b \subseteq U$,
+$a, b \in X$ выполняется условие: $a \leq b \iff a \subseteq b$. При этом $a
+\oplus b = a \cup b,\, a \otimes b = a \cap b$.
+
+Пусть $(L, \leq)$ --- линейная решётка, $(X, \leq)$ --- решётка подмножеств $U$.
+Определим \emph{решётку многоуровневой безопасности} $(X \times L, \leq)$ с
+бинарным отношением частичного порядка <<$\leq$>>, где для $(a, \alpha),
+(b, \beta) \in X \times L$ выполняется условие: $(a, \alpha) \leq (b, \beta)
+\iff a \subseteq b, a \leq b$.
+
+При этом
+\begin{align*}
+  (a, \alpha) \oplus (b, \beta) &= (a \cup b, \max\set{\alpha, \beta}) \\
+  (a, \alpha) \otimes (b, \beta) &= (a \cap b, \min\set{\alpha, \beta}) \\
+\end{align*}
+
+На практике при использовании решёток многоуровневой безопасности решётка
+$(L, \leq)$ является линейной шкалой уровней конфиденциальности, а $(X, \leq)$
+--- решёткой подмножеств множества неирархических категорий информации.