Добавил лекции по Прикладной универсальной алгебре

1 files changed, 50 insertions, 0 deletions

diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture1.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture1.tex
new file mode 100644
index 0000000..98db9dc
--- /dev/null
+++ b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture1.tex
@@ -0,0 +1,50 @@
+% Лекция 1 (03.09.21)
+\section{Алгебра отношений}
+Обозначение множеств:
+\begin{itemize}
+  \item $A = \{ a : P(A) \}$
+  \item $[0, 1] = \{ x : x \in R \land 0 \leq x \leq 1 \}$
+  \item $A = \{ 0, 1, \dots, 10 \}$
+\end{itemize}
+
+Основные действия над множествами:
+\begin{itemize}
+  \item Сравнение множеств: $A = B$ означает, что $|A|=|B| \land \forall x \in A \iff x \in B$
+  \item Объединение: $A \cup B$ --- множество, состоящее из элементов $A$ или $B$. $A \cup B = \{ x : x \in A \lor x \in B \}$
+  \item Разность множеств: $A - B = \{ x : x \in A \land x \not\in B \}$
+\end{itemize}
+
+\begin{definition}
+  $\{ x, y \}$ называется неупорядоченной парой элементов $x$, $y$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+  Множество $(a, b) = \{ a, \{a, b\} \}$ называют упорядоченной парой.
+\end{definition}
+
+$A_1 \cdot \ldots \cdot A_n = \{ (a_1, a_2, \dots, a_n) : \dots \}$
+
+\dots
+
+\begin{definition}
+  Всюду определённое и однозначеное бинарное отношение $\phi \subset A \times B$ обозначается $\phi: A \to B$ и
+  называется отображением $A$ в $B$, или \textit{функцией} на множестве $A$ со значениями в множестве $B$.
+\end{definition}
+
+Для отображения $\phi: A \to B$:
+\begin{itemize}
+  \item Область определения $D_p = A$ 
+  \item Область значений $E_p = B$
+\end{itemize}
+
+\begin{definition}
+  Отображение $\phi: A \to B$ называется:
+  \begin{itemize}
+    \item \textit{Преобразованием} множества $A$, если $A = B$;
+    \item \textit{Отображением} множества $A$ на множество $B$, если $E_\phi = B$;
+    \item \textit{Взаимно однозначным отображением} множества $A$ в множество $B$, если оно является взаимно однозначным бинарным отношением;
+    \item \textit{Взаимно однозначным отображением} $A$ на $B$ если оно взаимно однозначно и $E_\phi = B$;
+    \item \textit{Перестановкой} множества $A$, если оно является взаимно однозначным отображением множества $A$ на себя.
+  \end{itemize}
+\end{definition}
+