Добавил лекции по Прикладной универсальной алгебре

1 files changed, 92 insertions, 0 deletions

diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex
new file mode 100644
index 0000000..4707dd5
--- /dev/null
+++ b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex
@@ -0,0 +1,92 @@
+% Лекция 3 (17.09.21)
+\begin{example}
+  На $Z$ рассматривается бинарное отношение $(x, y) \in \varepsilon \iff |x| = |y|$. 
+  Очевидно, что $\varepsilon$ рефлексивно, симметрично и транзитивно. 
+  $\varepsilon$ является эквивалентным на $Z$ с классами $\varepsilon(x) \{ x, -x \}$  
+\end{example}
+
+\begin{example}
+  На $Z$ для фиксированного $m \in N$ $(x, y) \in \varepsilon \iff$ $x - y$ делится
+  на $m$ то есть $x - y = k \cdot m$ для некоторого $k \in Z$.
+  \begin{itemize}
+    \item 
+      \textit{Рефлексивность}. $(x, x) \in \varepsilon$ равносильна 
+      $x - x = m \cdot k$, ($\exists k \in R$) --- выполняется 
+      $x - x = m \cdot O$ для $O \in Z$
+    \item 
+      \textit{Симметричность}. 
+      $(x, y) \in \varepsilon \implies (y, x) \in \varepsilon$, 
+      то есть $x \cdot y = m \cdot k, \, \exists k \in Z \implies 
+      y \cdot x = m \cdot l, \, (\exists l \in Z)$ --- верно, 
+      то есть $l = -k \in Z$
+    \item
+      \textit{Транзитивность}. 
+      $(x, y) \in \varepsilon \land (y, z) \in \varepsilon \implies 
+      (x, z) \in epsilon$, то есть 
+      $x - y = m \cdot k, \, (\exists k \in Z) \lor 
+      y - z = m \cdot l, \, (\exists l \in Z) \implies 
+      x -z = m \cdot p, \, (\exists p \in Z)$.
+  \end{itemize}
+
+  $x - z = (x - y) + (y - z) = m \cdot k + m \cdot l = m \cdot (k + l)$ для $k + l \in Z$
+  
+  Получаем, что $\varepsilon$ --- отношение эквивалентности, которое 
+  обозначается $\text{mod}\, m$ и называется отношением сравнения по модулю $m$.
+
+  Классы отношения эквивалентности $\varepsilon$ : 
+  \begin{eqnarray}
+    \varepsilon(0) &= \{ 0, m, 2m, \dots, -m, -2m \} = m \cdot \Z \\
+    \varepsilon(1) &= \{ 1, m + 1, 2m + 1, \dots, -m + 1, -2m + 1 \} = m \cdot \Z + 1 \\
+    &\dots \\
+    \varepsilon(m - 1) &= \{ m - 1, 2m - 1, \dots \} = m \cdot \Z + (m - 1) \\
+    \varepsilon(m) &= m \cdot \Z + m = m \cdot (Z + 1) = m \cdot Z = m(0)
+  \end{eqnarray}
+
+  Фактор-множество $\Z/\text{mod}\, m = \{ \varepsilon(0), \dots, \varepsilon(m - 1) \}$
+\end{example}
+
+\begin{example}
+  На множестве $V$ всех векторов на плоскости рассмотрим бинарное отношение $\varepsilon$:
+  $(a, b) \in \varepsilon \iff (a \upuparrows b \land |a| = |b|)$. 
+  $\varepsilon$ является отношением эквивалентности с классами эквивалентности 
+  $\varepsilon(a) = \{ x \in V : a \upuparrows x \land |a| = |x| \}$.
+  Фактор-множество: $V/\varepsilon = \{ \varepsilon(a) : a \in V \}$
+\end{example}
+
+\begin{definition}
+  Бинарное отношение $\varepsilon$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
+  эквивалентности} (или просто \textit{эквивалентностью}), если оно рефлексивно,
+  симметрично и транзитивно.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+  \textit{Ядром отображения} $\phi: A \to b$ называется бинарное отношение 
+  $ker \phi$ на множестве $A$, которое определяется по формуле 
+  \begin{equation*}
+    ker \phi \{ (a, b) \in A^2 : \phi(a) = \phi(b) \}
+  \end{equation*}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+  \textit{Каноническим отображением} эквивалентности $\varepsilon$ называется
+  отображение $nat \varepsilon$ множества $A$ на фактор-множество $A/\varepsilon$,
+  которое каждому элементу $a \in A$ ставит в соответствие содержащий его класс
+  эквивалентности $[a]$. Легко видель, что $ker nat \varepsilon = \varepsilon$
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+  Подмножество $T \subset A$ называется полной системой представителей классов
+  эквивалентности $\varepsilon$ на множестве $A$, если:
+  \begin{enumerate}
+    \item $\varepsilon(T) = A$
+    \item из условия $t_1 \equiv t_2(\varepsilon)$ следует $t_1 = t_2$
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Классы эквивалентности $[t] \in A/\varepsilon$ могут быть отождествленны со 
+своими представителями $t$ и фактор-множество $A/\varepsilon$ может быть 
+отождествленно с множеством $T$.
+
+...
+
+Извествен алгоритм построения СДНФ для любой формулы $\Phi (\neq 0)$