Добавил лекции по Прикладной универсальной алгебре

1 files changed, 84 insertions, 0 deletions

diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex
new file mode 100644
index 0000000..eb76b95
--- /dev/null
+++ b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex
@@ -0,0 +1,84 @@
+% Лекция 4 01.10.21
+\begin{definition}[Принцип двойственности]
+  Если утверждение $\Phi$ верно для всех упорядоченных множеств, то
+  двойственное ему утверждение также верно для всех упорядоченных множеств.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+  \begin{enumerate}
+    \item
+      Для утверждения ``если в упорядоченном множестве существует $\sup X$,
+      то он единственнен'' двойственным будет ``если в упорядоченном
+      множестве существует $\inf X$, то он единственен''.
+    \item
+      Для утверждения ``упорядоченное множество $(A, \leq)$ имеет
+      наибольший элемент'' двойственным будет ``упорядоченное множество
+      $(A, \leq)$ имеет наименьший элемент''.
+  \end{enumerate}
+\end{example}
+
+\subsection{Упорядочивание множества слов}
+
+\subsection{Подмножества и морфизмы упорядоченных множеств}
+\begin{lemma}[Цорна]
+  Если в упорядоченном множестве любая цепь имеет верхнюю
+  грань, то каждый элемент этого множества содержится в
+  некотором максимальном элементе.
+\end{lemma}
+
+\begin{lemma}[Аксиома выбора]
+  Для любого множества $A$ существует такая функция
+  $f : P(A) \to A$, что $f(X) \in X$ для любого $X \in P(A)$.
+\end{lemma}
+
+\begin{definition}
+  Упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности},
+  если каждое его непустое подмножество имеет минимальный элемент.
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}[Обобщённый принцип индукции]
+  Если упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности}
+  и подмножество $B \subset A$ содержит все такие элементы $a \in A$, для
+  которых при всех $x < a$ выполняется $x \in B$, то $B = A$.
+\end{lemma}
+
+\begin{definition}
+  \textbf{Морфизмы} --- это отображения $\varphi : A \to B$, которые сохряняют
+  дополнительную алгебраическую структуру на множества $(A, B)$.
+
+  Если $a_1 \leq_A a_2 \implies \varphi(a_1) \leq_B \varphi(a_2) \quad (\forall a_1, a_2 \in A)$
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+  $\varphi : (\N, \leq_\N) \to (\Z, \leq_\Z)$
+\end{example}
+
+\subsection{Отношение квазипорядка}
+
+\begin{definition}
+  Бинарное отношение $\omega$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
+  квазипорядка} (или просто \textit{квазипорядком}), если оно рефлексивно
+  и транзитивно.
+
+  Отношение $\delta = \omega \cap \omega^{-1}$ называется \textit{ядром}
+  квазипорядка $\omega$.
+\end{definition}
+
+\begin{example}
+  \begin{enumerate}
+    \item
+      Любая эквивалентность $\equiv$ и любой порядок $\leq$ на множестве
+      $A$ являются квазипорядками с ядрами $\delta = \equiv$ и
+      $\delta = \Delta_A$ соответственно.
+    \item
+      Отношение делимости $|$ на множество целых чисел $\Z$ является
+      квазипорядком с ядром $\delta = \{ (n, \mp n) | n \in \Z\}$.
+    \item
+      Отношение логического следлвания на множестве $F_{AB}$ формул
+      логики высказываний является квазипорядком, ядром которого
+      является отношение логической равносильности формул.
+    \item
+      Отношение достижимости вершин в ориентированном графе является
+      квазипорядком, ...
+  \end{enumerate}
+\end{example}
\ No newline at end of file