diff options
| -rw-r--r-- | sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex | 56 |
1 files changed, 29 insertions, 27 deletions
diff --git a/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex b/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex index 4a0c03d..3fc34d0 100644 --- a/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex +++ b/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex @@ -42,8 +42,8 @@ зрения изменения сигнала с течением времени различают \emph{статические} и \emph{динамические}. -Статические --- это сигналы, которые изменяют устойчивое изменение -состояния объекта. Динаические --- это сигналы, отображающие +Статические --- это сигналы, которые отображают устойчивое изменение +состояния объекта. Динамические --- это сигналы, отображающие непрерывные изменения некоторого объекта, либо процесса при переходе от одного устойчивого состояния к другому. К динамическим относятся все виды электромагнитных колебаний, а также распространения звука в воде и @@ -53,14 +53,14 @@ \emph{дискретные}. Сигналы могут быть непрерывными и дискретными как по времени, так и по множеству значений. Возможен один из четырёх видов сигналов: - полностью непрерывный сигнал (по времени \& множеству -значений) - непрерывный по множеству значений и дискретным по времени - -дискретный по множеству значений и непрерывным по времени - полностью +значений) - непрерывный по множеству значений и дискретный по времени - +дискретный по множеству значений и непрерывный по времени - полностью дискретный Носителем сигнала всегда является объект или процесс. Однако если абстрагироваться от его физической природы, то существенными с точки зрения теории информации будут только его вероятностные характеристики и -другие важные черты с точки зрения данного изучаемого процесса. +другие важные черты с точки зрения данного изучаемого процесса/сигнала. \textbf{В теории информации математическая модель сигнала может противоречить реальной физической структуре.} Допустим, в теории инф мы @@ -70,51 +70,53 @@ сигналов} Чтобы изучать непрерывные сигналы для начала изучаются детерминированные -сигналы, при этом они рассматриваются как некоторый ансамбль \ldots{} . +сигналы, при этом они рассматриваются как некоторый ансамбль реализации \ldots{}. Мы будем использовать некоторую функцию \begin{equation} - u(t) = \sum_{k = 1}^{}n C_k \phi_k(t) \quad (1) + u(t) = \sum_{k = 1}^{n} C_k \phi_k(t) \quad (1) \end{equation} Искусственно ограничиваем $t$ некоторым \emph{промежутком времени} -(?). Данная модель называется \textbf{линейной моделью сигнала}. Здесь +$[t_1; t_2]$. Данная модель называется \textbf{линейной моделью сигнала}. Здесь $\phi_k(t)$ --- базисные функции, а $C_k$ --- безразмерный коэффициент. Если заданы все базисные функции, то функция $u(t)$ будет определяться только коэффициентами $C_k$. Эти коэффициенты будут -называться дискретным спектром сигнала. За пределами интервала +называться \textbf{дискретным спектром сигнала}. За пределами интервала $t \in [t_1; t_2]$ времени сигнал считается \emph{всегда} \textbf{условно продолжающимся}. В некоторых задачах такое представление является неприемлемым, поэтому -для сигналов конечной длительности существуе другое представление: +для сигналов конечной длительности существует другое представление: \begin{equation*} - u(t) = \int_{-\infty}^{}\infty S(\alpha) \phi(\alpha, t) ; d\alpha \quad (2) + u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(\alpha) \phi(\alpha, t) ; d\alpha \quad (2) \end{equation*} -Здесь $s(\alpha)$ называется \emph{спектральной плотностью}, а -$\phi(\alpha, t)$. Это модель \emph{непрерывного} сигнала. +Здесь $S(\alpha)$ называется \emph{спектральной плотностью}, а +$\phi(\alpha, t)$ \emph{базисной функцией}. Это модель \emph{непрерывного} сигнала. Раздел теории информации, который изучает сигналы в данных представлениях, называется \textbf{спектральной теорией сигналов}. +Чем сложнее базисная функция, тем реальнее и сложнее модель. + В связи с этим обычно используют набор ортогональных базисных функций, которые удовлетворяют следующему условию: \begin{equation*} - \int_{t_1}^{}{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) d t = + \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) d t = \begin{cases} 0, &k \neq l \\ 1, &k = l \end{cases} \quad (3) \end{equation*} -То есть если умножить все $\phi_l$ на данном интервале на коэффициент +То есть если умножить все $\phi_l (t)$ на данном интервале на коэффициент $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированную функцию, то есть \begin{equation*} - \int_{t_1}^{}{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt = 1, \quad k = l + \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt = 1, \quad k = l \end{equation*} Пусть имеется модель, удовлетворяющая условию ортонормированности. @@ -123,13 +125,13 @@ $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированн \begin{equation*} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \phi_l(t) dt = - \int_{t_1}^{t_2} \sum_{k = 1}^n C_k \phi_k(t) \phi_l(t) dt = - \sum_{k = 1}^n C_k \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt + \int_{t_1}^{t_2} \sum_{k = 1}^{n} C_k \phi_k(t) \phi_l(t) dt = + \sum_{k = 1}^{n} C_k \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt \end{equation*} Получаем \begin{equation*} - C_k = \int_{t_1}^{t_2} \phi(t) \phi_k(t) dt + C_k = \int_{t_1}^{t_2} u(t) \phi_k(t) dt \end{equation*} Исходя из этого получаем: @@ -137,7 +139,7 @@ $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированн \item Каждый коэффициент $C_k$ может вычисляться независимо друг от друга \item Сложность их вычисления будет зависеть только от сложности вычисления - базисной функции, поэтому для изучения сигналов применяются системы + базисных функций, поэтому для изучения сигналов применяются системы ортогональных функций, в частности применяются \begin{enumerate} \item Системы тригонометрических функций @@ -153,13 +155,13 @@ $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированн Возьмём произвольную непрерывную функцию $u(t)$. Будем считать, что непрерывная функция представляет собой набор функций примыкающих друг к -другу импульсов бесконечно малых длительности с амплитудой равной -значению сигнала в конретный момент времени. То есть получим новую +другу импульсов бесконечно малой длительности с амплитудой равной +значению сигнала в конкретный момент времени, то есть получим новую модель, которая записывается через некоторую дельта-функцию. \begin{equation*} - u(t) = \int_{-\infty}^{}\infty u(\tau) \delta(\tau - t) d\tau \quad (4) + u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \delta(\tau - t) d\tau \quad (4) \end{equation*} \begin{equation*} @@ -168,16 +170,16 @@ $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированн Ортонормируем дельта-функцию: \begin{equation*} - \int_{-\infty}^{}\infty \delta(\tau - t) d \tau = 1 + \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau - t) d \tau = 1 \end{equation*} -Как видно, модель (4) является обобщённым случаем модели (2), базисной -функцией которого является дельта-функция. Таким же образом мы можем с +Как видно, модель (4) является обобщённым спектральным представлением модели (2), +базисной функцией которого является дельта-функция. Таким же образом с помощью этой модели мы можем построить дискретную модель, которая будет называться \textbf{решётчатой} функцией: \begin{equation*} - u_l(t) = \sum_{k = -\infty}^{}\infty u(t) \delta(\tau - t), \quad \tau = \Delta t k + u_l(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} u(t) \delta(\tau - t), \quad \tau = \Delta t k \end{equation*} $\Delta t$ --- период импульса. |