diff options
Diffstat (limited to 'crypto-algebra/lectures/lecture10.tex')
| -rw-r--r-- | crypto-algebra/lectures/lecture10.tex | 224 |
1 files changed, 224 insertions, 0 deletions
diff --git a/crypto-algebra/lectures/lecture10.tex b/crypto-algebra/lectures/lecture10.tex new file mode 100644 index 0000000..c9da50d --- /dev/null +++ b/crypto-algebra/lectures/lecture10.tex @@ -0,0 +1,224 @@ +% Лекция 10 (13.11.23) +%% TODO: проверить рендеринг потому что maker не завёлся + +%% NOTE: 7 +\paragraph{Расширения конечных полей} + +%% NOTE: 39 +\begin{theorem}[Количество точек эллиптической кривой над конечным полем, + свойство эндоморфизма Фробениуса] + Пусть $E / \F_q$ --- эллиптическая кривая, + \begin{equation*} + \varphi : E \to E,\, (x, y) \to (x^q, y^q), --- + \end{equation*} + эндоморфизм Фробениуса степени $q$ и + \begin{equation*} + t = q + 1 - #E(\F_q). + \end{equation*} + \begin{enumerate} + \item + Пусть $\alpha, \beta \in \C$ --- корни полинома $T^2 - tT + q$. Тогда + $\alpha$ и $\beta$ --- комплексно-сопряжённые, удовлетворяющие условиям + $|\alpha| = |\beta| = \sqrt{q}$, и для любого $r \geq 1$ + \begin{equation*} + #E(\F_q^r) = q^r + 1 - \alpha^r - \beta^r. + \end{equation*} + \item + Эндоморфизм Фробениуса удовлетворяет условию + \begin{equation*} + \varphi^2 - t \varphi + q = 0 \text{в кольце эндоморфизмов } \fn{End}(E). + \end{equation*} + \end{enumerate} + \label{thm:39} +\end{theorem} + +\begin{theorem}[Теорема Вейля для эллиптических кривых, А. Вейль, 1949 г.] + Пусть $E / \F_q$ --- эллиптическая кривая. Тогда существует $t \in \Z$ такое, + что дзета-функция эллиптической кривой является рациональной функцией от $T$: + \begin{equation*} + Z(E/\F_q; T) = \frac{1 - tT + qT^2}{(1 - T)(1 - qT)}. + \end{equation*} + + Более того $1 - tT + qT^2 = (1 - \alpha T)(1 - \beta T)$ с $|\alpha| = |\beta| + = \sqrt{q}$. +\end{theorem} +\begin{proof} + Логарифмируем равенство + %% TODO: переписать + \begin{equation*} + \ln Z(E/\F_q; T) \bydef \sum_{r = 1}^\infty \frac{#E(\F_q^r) T^r}{r} + =%_теорема 39 пункт а) + \sum_{r = 1}^\infty \frac{(1 - \alpha^r - \beta^r + q^r) T^r}{r} = + \sum_{r = 1}^\infty \frac{T^r}{r} - \sum_{r = 1}^\infty \frac{(\alpha T)^r}{r} - +\sum_{r = 1}^\infty \frac{(\beta T)^r}{r} +\sum_{r = 1}^\infty \frac{(q T)^r}{r} +=_* +используя тождество +ln(1 - x) = ln(1 + (-x)) = \sum_{r = 1}^\infty \frac{(-1)^{r + 1} (-x)^r}{r} = - \sum_{r = 1}^\infty \frac{x^r}{r}, +получаем +=_* -ln(1 - T) + ln(1 - \alpha T) + ln(1 - \beta T) - ln(1 - qT) = ln \left( \frac{1 - \alpha T) (1 - \beta T)}{(1 - T) (1 - qT)} \right). + \end{equation*} + следовательно, + \begin{equation*} + Z(E/\F_q; T) = \frac{1 - \alpha T) (1 - \beta T)}{(1 - T) (1 - qT)} + \end{equation*} + + По теореме \ref{thm:39}, пункт а) \alpha и \beta являются комплексно-сопряжёнными корнями полинома $T^2 - tT + q$, удовлетворяющие условиям + $|\alpha| = |\beta| = \sqrt{q}$, тогда по теореме Виета + \begin{equation*} + \alpha + \beta = t \land \alpha \beta = q. + \end{equation*} + + Имеем + \begin{equation*} + (1 - \alpha T)(1 - \beta T) = 1 - \beta T - \alpha T + \alpha \beta T^2 = 1 - (\alpha + \beta) T + (\alpha \beta) T^2 = 1 - tT + qT^2 + \end{equation*} + + Получаем + \begin{equation*} + Z(E/\F_q; T) = \frac{1 - tT + qT^2}{(1 - T)(1 - qT)} + \end{equation*} + + Также + \begin{equation*} + t = \alpha + \beta = q + 1 - #E(\F_q) \in \Z. + \end{equation*} +\end{proof} + +Пусть $E/\F_q$ --- эллиптическая кривая. Величина +\begin{equation*} + t = q+ 1 - #E(\F_q) +\end{equation*} +называется \emph{следом Фробениуса}. + + +Примечание --- К теореме Хассе. Из рассуждений имеем +\begin{equation*} + |#E(\F_q) - (q + 1)| = |-t| = |t| = |\alpha + \beta| \leq |\alpha| + |\beta| \leq 2\sqrt{q} +\end{equation*} + +Так как $\alpha$ и $\beta$ вместе с $t$ определяют значение $#E(\F_q)$, то число +точек над $\F_q$ однозначно определяет число точек над любым его расширением. + +Таким образом, теорему Вейля для эллиптических кривых можно использовать, в +частности, для нахождения числа точек над расширениями высокой степени. + +\begin{example} + Вычислим число точек эллиптической кривой $y^2 + y = x^3$. Здесь есть три + $\F_2$-рациональные точки: $(0; 0)$, $(0; 1$, $\mathcal{O}$ --- и дзета-функция + данной эллиптической кривой над полем $\F_2$ вычисляется следующим образом: + %% TODO: часть 1, 2, 3, 4 +\end{example} + +%% NOTE: 9 +\paragraph{Скручивание эллиптических кривых} + +Скручивание $E/F$ --- это гладкая кривая $E'/F$, изоморфная $E$ над $\overline{F}$. +Два скручивания эквивалентны, если они изоморфны над $F$. + +%% TODO: \ref{8} +Пусть $E$ --- эллиптическая кривая, заданная уравнением (8) над конечным полем +$\F_q,\, v \in \F_q$ --- некоторый квадратичный невычет. + +Эллиптическая кривая $E'$: +\begin{equation*} + y^2 = x^3 + a'x + b'. +\end{equation*} +где $a' = v^2 a,\, b = v^3 b$, является скручиванием $E$ над полем $\F_q$. + +%% NOTE: 41 +\begin{theorem}[О порядках эллиптической кривой и её скручивания] + Пусть $E$ --- эллиптическая кривая над $\F_q$, $E'$ --- скручивание эллиптической + кривой $E$ над $\F_q$. Тогда + \begin{equation*} + #E(\F_q) + #E'(\F_q) = 2q + 2. + \end{equation*} +\end{theorem} +\begin{proof} + Пусть + \begin{equation*} + g(x) = x^3 + ax + b. + \end{equation*} + + Тогда кривая $E$ задаётся уравнением + \begin{equation*} + y^2 = g(x), + \end{equation*} + для кривой $E'$ получаем + \begin{equation*} + y^2 = x^3 + a'x + b' = x^3 + v^2 ax + v^3 b = v^3 \left( \left(\frac{x}{v}\right)^3 + a \frac{x}{v} + b \right) = + v^3 g \left( \frac{x}{v} \right), + \end{equation*} + то есть кривая $E'$ задаётся уравнением + \begin{equation*} + y^2 = v^3 g \left( \frac{x}{v} \right). + \end{equation*} + + Когда $x$ пробегает все значения из $\F_q$, $\frac{x}{v}$ также пробегает все + значения из $\F_q$. Таким образом, каждому корню полинома $g$ соответствует + одна точка на каждой из эллиптических кривых $E$ и $E'$. + + Каждому значению $g$, которое является квадратичным вычетом, соответствуют две + точки на $E$ и ни одной на $E'$, так как $v^3 g$ будет квадратичным невычетом. + + Обратно, каждому значению $g$, которое является квадратичным невычетом + соотвествует две точки на $E'$ и ни одной на $E$, так как $v^3 g$ будет + квадратичным вычетом. + + Поэтому каждое значение $g$ в сумме даёт две точки на кривых $E$ и $E'$. + Поскольку всего имеется $a$ значений $g$ (с учётом кратности), то получаем + аффинные $2q$ точки на кривых $E$ и $E'$. + + Так как каждая из этих кривых содержит $\mathcal{O}$, то общее количество + элементов на $E$ и $E'$ равно $2q + 2$. +\end{proof} + +Благодаря этому факту после того, как найден порядок кривой, порядок её скручивания +находится без вычисления. + +\begin{example} + Пусть $E: y^2 = x^3 + 9$ --- эллиптическая кривая над $\F_{29}$. Возьмём, + например, $2 \in \F_{29}$ --- квадратичный невычет, так как сравнение $x^2 - 2 + \equiv 0 \pmod{29}$ не имеет решений. + + То есть скручивание $E'$: + \begin{equation*} + y^2 = x^3 + v^3 b = x^3 + 2^3 \cdot 9 = x^3 + 72 + \end{equation*} + + Тогда + \begin{equation*} + #E(\F_{29}) + #E'(\F_{29}) = 2 \cdot 29 + 2 = 60. + \end{equation*} +\end{example} + + +%% NOTE: 9 +\paragraph{Строение группы точек эллиптической кривой.} + +%% NOTE: 42 +\begin{theorem}[Строение группы точек эллиптической кривой, определённой над + конечным полем]. + Пусть $E/\F_q$ --- эллиптическая кривая, заданная над конечным полем $\F_q$. + Тогда $E(\F_q)$ либо является циклической группой, либо изоморфна произведению + двух циклических групп: + \begin{equation*} + E(\F_q) \cong \Z_{d_1} \times \Z_{d_2}, + \end{equation*} + где $d_1 | d_2$ и $d_1 | (q - 1)$. +\end{theorem} + +Пусть $N = #E(\F_q)$. Разлагая каждую из циклических групп в произведение групп +порядков $p^n$ для разных простых, можно представить группу точек произвольной +эллиптической кривой единственным образом в виде произведения групп вида +\begin{equation*} + \Z_{p^\alpha} \times \Z_{p^\beta}, +\end{equation*} +где произведение берётся по всем простым делителям $N$ (здесь $\alpha \geq 1,\, +\beta \geq 0$). + +Под \emph{типом} абелевой группы $\F_q$-рациональных точек на $E$ понимается +список $(\dots, p^\alpha, p^\beta, \dots)_{p|N}$ порядков циклических +$p$-примерных сомножителей в указанном представлении в виде произведения +(если $\beta = 0$, $p^\beta$ опускаем). + |