1 files changed, 164 insertions, 0 deletions
diff --git a/crypto-algebra/lectures/lecture5.tex b/crypto-algebra/lectures/lecture5.tex
new file mode 100644
index 0000000..dda14e3
--- /dev/null
+++ b/crypto-algebra/lectures/lecture5.tex
@@ -0,0 +1,164 @@
+% Лекция 5 (25.09.23)
+
+%% NOTE: 8
+\paragraph{Конечное поле} --- это поле $F$, содержащее конечное число элементов.
+
+\begin{theorem}[Существование и единственность конечных полей]
+  \begin{enumerate}
+    \item
+      Если $F$ --- конечное поле, то $F$ содержит $p^m$ элементов для некоторого
+      простого числа $p$ и целого числа $m \geq 1$.
+    \item
+      Для каждого простого числа $p$ и целого числа $m \geq 1$ существует
+      единственное (с точностью до изоморфизма) конечное поле порядка $p^m$.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+Конечное поле порядка $p^m$ обозначается $\FF_{p^m}$ или $GF(p^m)$ и
+называется \emph{полем Галуа}. Заметим, что если $p$ --- простое число, то
+$\Z_p$ --- поле, а значит, каждое поле порядка $p$ изоморфно $\Z_p$.
+
+\begin{theorem}[О свойствах поля $\mathbb{F}_q$]
+  Если $\FF_q$ --- конечное поле порядка $q = p^m$, $p$ --- простое число,
+  то характеристикой $\FF_q$ является $p$. Более того, $\FF_q$ содержит в
+  качестве подполя простое поле $\FF_p = \Z_p$. Следовательно, $\FF_q$ можно
+  рассматривать как расширение поля $\Z_p$ степени $m$.
+\end{theorem}
+
+Группа ненулевых элементов $\FF_q$ обозначается $\FF^*_q$.
+\emph{Образующий элемент $g$} конечного поля $\FF_q$ есть элемент порядка $q -
+1$.
+
+\begin{theorem}[О циклической группе $\FF_q$]
+  Каждое конечное поле имеет образующий элемент. Если $g$ --- образующий элемент
+  $\FF^*_q$, то $g^j$ также является образующим элементом $\iff \gcd(j, q - 1) =
+  1$. Таким образом, всего имеется $\varphi(q - 1)$ различных образующих
+  элементов $\FF^*_q$, где $\varphi$ --- функция Эйлера.
+\end{theorem}
+
+\begin{theorem}[Единственность конечного поля порядка $q = p^f$]
+  Если $\FF_q$ --- поле из $q = p^f$ элементов, то каждый элемент удовлетворяет
+  уравнению $x^q - x = 0$, а $\FF_q$ --- это в точности множество корней этого
+  уравнения.
+
+  Обратно, для каждой степени простого числа $q = p^f$ поле разложения над
+  $\FF_p$ многочлена $x^q - x$ является полем из $q$ элементов.
+\end{theorem}
+
+Пусть $K$ --- расширение степени $n$ конечного поля $F = \FF_p$. \emph{След
+элемента $x \in K$} в поле $F$ определяется как сумма
+\begin{equation*}
+  Tr(x) = x + x^p + \dots + x^{p^{n - 1}}
+\end{equation*}
+
+\begin{theorem}[След элемента]
+  След $Tr$ является гомоморфизмом аддитивных групп $K \to F$.
+\end{theorem}
+
+%% NOTE: 9
+\paragraph{Логарифмирование.}
+
+Наличие в конечном поле примитивного элемента $a$ позволяет ввести понятие
+логарифма для ненулевых элементов этого поля. Пусть $G$ --- конечная
+мультипликативная группа. \emph{Задача дискретного логарифмирования} состоит в
+решении при заданных $a, b \in G$ уравнения \[a^x = b\] относительно целого $x$,
+$0 \leq x < n = \text{ord } a$.
+
+Решение $x$ называется \emph{дискретным логарифмом}, или \emph{индексом}, $b$
+по основанию $a$ и обозначается $\text{ind}_a b$.
+
+\emph{Примечание} --- Когда групповая операция в $G$ записывается аддитивно, то
+рассматривается уравнение $xa = b$.
+
+По сути, \emph{эллиптическая кривая над конечным полем} --- это конечная абелева
+группа, в которой можно ставить задачу о вычислении дискретных логарифмов.
+
+\subsection{Введение в эллиптические кривые}
+
+\paragraph{Аффинные алгебраические многообразия, проективная плоскость.}
+
+Пусть $F$ --- поле, $F^*$ --- множество обратимых элементов поля $F$.
+
+\emph{Аффинным $n$-мерным пространством $A^n(F)$} над $F$ называется множество
+точек \[\set{P = (x_1, \dots, x_n)} \in F^n\] значения $x_1, \dots, x_n$
+называются \emph{аффинными координатами}.
+
+\emph{Аффинное алгебраическое многообразие (множество) $V$} --- это подмножество
+аффинного пространства, на котором обращаются в нуль полиномы $f_1, \dots, f_k
+\in F[x_1, \dots, x_n]$:
+\begin{equation*}
+  V = \set{P \in F^n | f_1(P) = 0, \dots, f_k(P) = 0}
+\end{equation*}
+
+В случае $n = 2$ аффинное пространство называется \emph{аффинной плоскостью}, а
+алгебраическое многообразие, идеал которого образован одиночным полиномом, ---
+(плоской) \emph{алгебраической кривой}.
+
+Степень полинома, задающего кривую, называется \emph{степенью кривой}.
+
+\emph{Неприводимая алгебраическая кривая} задаётся неприводимым (над алгебраическим
+замыканием $\overline{F}$ поля $F$) полиномом из кольца $F[x, y]$.
+
+\begin{example}
+  Алгебраическая кривая, заданная полиномом
+  \begin{equation*}
+    f(x, y) = (xy + 1)(x^2 + y^2 + 1)
+  \end{equation*}
+
+  Полином $f(x, y)$ раскладывается на множители, поэтому алгебраическая кривая
+  является объединением кривых
+  \begin{equation*}
+    xy + 1 = 0 \land x^2 + y^2 + 1 = 0
+  \end{equation*}
+
+  Вместо этой кривой можно рассмотреть две более простых алгебраических кривых,
+  задаваемых неразложимыми делителями левой части уравнения. Таким образом,
+  изучение алгебраической кривой сводится к изучению её подмножеств, задаваемых
+  нулями неприводимых полиномов.
+\end{example}
+
+Алгебраическую кривую $E$, заданную уравнением с коэффициентами из поля $F$,
+будем обозначать $E/F$; алгебраическую кривую, точки которой лежат в $F^2$,
+будем обозначать $E(F)$.
+
+Даже если уравнение $f(x, y) = 0$, задающее кривую $E$, имеет коэффициенты
+из простого поля $F$, множество решений этого уравнения (и, соответственно,
+множество точек кривой) может рассматриваться над расширением поля $F$,
+например, над его алгебраическим замыканием.
+
+\emph{Аффинная прямая $A^1(F)$} над полем $F$ представляет собой поле $F$.
+
+\emph{Проективной прямой $P^1(F)$} над полем $F$ называется множество пар
+\begin{equation*}
+  \set{X, Y} \in F^2 \backslash (0, 0)
+\end{equation*}
+с эквивалентностью $(X, Y) \equiv (aX, aY)$, если $a \in F^*$.
+
+Если $Y \neq 0$, то каждая точка $(X, Y) \in P^1(F)$ эквивалентна точке $(x,
+1)$ аффинной прямой: просто полагаем $x = X / Y$. Но на проективной прямой есть
+точка вида $(X, 0)$, соответствующая аффинной точке.
+
+Эта точка $P_\infty$ называется \emph{бесконечно удалённой}. Поэтому
+\begin{equation*}
+  P^1(F) = A^1(F) \cup \set{P_\infty}
+\end{equation*}
+
+\emph{Проективной плоскостью} $P^2(F)$ над полем $F$ называется множеством троек
+\begin{equation*}
+  \set{X, Y, Z} \in F^3 \backslash (0, 0, 0)
+\end{equation*}
+с эквивалентностью $(X, Y, Z) \equiv (aX, aY, aZ)$, если $a \in F^*$. Здесь
+$X, Y, Z$ --- проективные координаты.
+
+Свяжем аффинную плоскость с проективной. Полагая
+\begin{equation*}
+  x = \frac{X}{Z}, y = \frac{Y}{Z}, Z \neq 0,
+\end{equation*}
+получаем биекцию между множеством точек $(x, y)$ аффинной плоскости и
+подмножеством точек $(x, y, 1)$ проективной плоскости.
+
+Однако на проективной плоскости есть точки с нулевой $Z$-координатой, которые не
+соответствуют никаким точкам аффинной плоскости.
+
+Тем самым проективную плоскость можно представить как объединение всех точек
+$(x, y)$ обычной (<<аффинной>>) плоскости с точками, для которых $Z = 0$.