diff options
Diffstat (limited to 'crypto-algebra/lectures/lecture8.tex')
| -rw-r--r-- | crypto-algebra/lectures/lecture8.tex | 191 |
1 files changed, 191 insertions, 0 deletions
diff --git a/crypto-algebra/lectures/lecture8.tex b/crypto-algebra/lectures/lecture8.tex new file mode 100644 index 0000000..c7f1d0d --- /dev/null +++ b/crypto-algebra/lectures/lecture8.tex @@ -0,0 +1,191 @@ +% Лекция 8 (16.10.23) + +%% NOTE: 24? +\begin{theorem}[Об изоморфных эллиптических кривых над полем характеристики $> 3$] + Всякая эллиптическая кривая над полем характеристики $> 3$ изоморфна + эллиптической кривой вида + \begin{equation*} %% NOTE: 8 + y^2 = x^3 + ax + b + \end{equation*} +\end{theorem} +\begin{proof} + Пусть $F$ --- поле характеристики $> 3$, $E$ --- эллиптическая кривая, + заданная уравнением (2). Согласно теореме 23 данная кривая изоморфна кривой + (7). Тогда сделаем в (7) замену переменных + \begin{equation*} + (x, y) \mapsto (x - \frac{b_2}{3}, y), + \end{equation*} + получим + %% TODO: дописать eq1 + \begin{align*} + y^2 &= \left(x - \frac{b_2}{3}\right)^3 + b_2 \left(x - \frac{b_2}{3}\right)^2 + + b_4 \left(x - \frac{b_2}{3}\right) + b_6, \\ + y^2 &= x^3 - b_2 x^2 + \frac{b_2^2}{3}x - \frac{b_2^3}{27} + b_2 + \left(x^2 - \frac{2b_2}{3}x + \frac{b_2^2}{9}\right) + b_4 x - \frac{b_2 b_4}{3} + b_6, \\ + \dots + \end{align*} + + Таким образом, данная замена переводит кривую (7) в (8). +\end{proof} + +Для эллиптической кривой, заданной уравнением (8), формулы для дискриминанта и +$j$-инварианта принимают вид +\begin{align*} + \Delta &= -16 (4a^3 + 27b^2), \\ + j(E) &= -1728 \frac{64a^3}{\Delta} = 1728 \frac{4a^3}{4a^3 + 27b^2} +\end{align*} + +В уравнении левая сторона ($y^2$) имеет степень 2, в то время как правая сторона +имеет степень 3 ($x^3$). Это означает, что горизонтальная линия может пересекать +кривую в трёх точках, если все корни вещественные. Однако вертикальная линия +может пересечь кривую самое большее в двух точках. + +\begin{example} + На рисунке 14 показаны две эллиптические кривые с уравнениями + \begin{equation*} + y^2 = x^3 - 9x \land y^2 = x^3 - 1 \; (y^2 = (x - 1)(x^2 + x + 1)) + \end{equation*} + %% TODO: рисунок 1 (14) + + Таким образом, обе кривые гладкие. Однако первое имеет три вещественных корня + ($x = \pm 3, x = 0$), второе --- только один вещественные корень ($x = 1$) и + два мнимых ($x = \pm \frac{\sqrt{3} i - 1}{2}$; удовлетворяют уравнению + $x^2 + x + 1 = 0$). +\end{example} + +%% NOTE: 4 +\paragraph{Сложение точек эллиптической кривой.} + +Существует ряд эквивалентных способов для описания группового закона сложения +точек эллиптической кривой. Геометрически этот закон можно сформулировать +следующим образом: \emph{три коллинеарные точки на эллиптической кривой дают +нулевую сумму}. Операция сложения точек на эллиптической кривой, введённая по +данному правилу, превращает эллиптическую кривую в коммутативную группу. + +Далее будут рассмотрены формулы сложения точек эллиптической кривой, которые +вытекают из данного правила. В качестве нулевого элемента выбирается точка +$\mathcal{O}$ на бесконечности. Таким образом, для любой точки $P \in E$ +имеют место равенства +\begin{equation*} + P + \mathcal{O} = \mathcal{O} + P = P. +\end{equation*} + +Секущая, проходящая через бесконечно удалённую точку $\mathcal{O}$ и данную +точку кривой $P$, является вертикальной прямой. + +Пусть $P \ne \mathcal{O}$ --- точка эллиптической кривой $E$ и $l$ --- +вертикальная прямая, проходящая через точку $P = (x_1, y_1)$. Эта прямая +пересекает $E$ ещё в точке $Q$ (с учётом кратности). Таким образом, $-P = Q$. + +Пусть $Q = (x_2, y_2)$. Так как она лежит на вертикальной прямой $l$, то +$x_1 = x_2$. Тогда $y_2$ является решением уравнения +\begin{equation} %% NOTE: 9 + y^2 + f_1(x_1) y - f_3(x_1) = 0, + \label{eq:9} +\end{equation} +где $f_1(x) = a_1 x + a_3$, $f_3(x) = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$. + +Уравнение (\ref{eq:9}) имеет два корня $y_1$ и $y_2$. По теореме Виета +\begin{equation*} + y_1 + y_2 = -f_1(x_1), +\end{equation*} +откуда получаем +\begin{equation*} + y_2 = -y_1 - f_1(x_1). +\end{equation*} + +Итак, +\begin{equation} + -(x_1, y_1) = (x_1, -y_1 - a_1 x_1 - a_3). + \label{eq:10} +\end{equation} + +Может оказаться, что $y_2 = y_1$ и, соответственно, $-P = P$. Это возможно, если +вертикальная прямая, проходящая через $P$, касается кривой $E$ в точке $P$. + +Рассмотрим, как вычисляется сумма двух различных точек $P_1 = (x_1, y_1)$ и +$P_2 = (x_2, y_2)$ на эллиптической кривой. Предположим, что $P_1, P_2 \neq +\mathcal{O}$ и $P_1 \neq \pm P_2$. Тогда $x_1 \neq x_2$. Пусть $l$ --- прямая, +проходящая через точки $P_1$ и $P_2$. Уравнение $l$ имеет вид +\begin{equation} + y = \alpha x + \beta. + \label{eq:11} +\end{equation} + +Коэффициенты $\alpha$ и $\beta$ --- решения системы. +\begin{equation*} + \begin{cases} + y_1 = \alpha x_1 + \beta, \\ + y_2 = \alpha x_2 + \beta. + \end{cases} +\end{equation*} + +Тогда +\begin{align*} + \alpha &= \frac{y_1 - y_2}{x_1 - x_2}, \\ + \beta &= y_1 - \alpha x_1 = y_2 - \alpha x_2. +\end{align*} + +Прямая $l$ пересекает эллиптическую кривую $E$ в некоторой третьей точке +$Q = -(P_1 + P_2) = (\widetilde{x_3}, \widetilde{y_3})$. + +Подставляя (\ref{eq:11}) в уравнение Вейерштрасса, получаем +\begin{equation*} + (\alpha x + \beta)^2 + (\alpha x + \beta) (a_1 x + a_3) - (x^3 + a_2 x^2 + + a_4 x + a_6) = 0. +\end{equation*} + +Кубическое уравнение +\begin{equation*} + -x^3 + (\alpha^2 + a_1 \alpha - a_2) x^2 + (2 \alpha \beta + a_3 \alpha + a_1 + \beta - a_4) x + (\beta^2 + a_3 \beta - a_6) = 0 +\end{equation*} +имеет три корня: $x_1, x_2, \widetilde{x_3}$. + +По теореме Виета +\begin{equation*} + x_1 + x_2 + \widetilde{x_3} = \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2. +\end{equation*} + +Таким образом, +\begin{equation*} + \begin{cases} + \widetilde{x_3} = -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2, \\ + \widetilde{y_3} = \alpha \widetilde{x_3} + \beta = (y_1 - \alpha x_1) + + \alpha \widetilde{x_3} = y_1 - \alpha(x_1 - \widetilde{x_3}) + \end{cases} +\end{equation*} + +Получаем, $P_1 + P_2 = -Q = -(\widetilde{x_3}, \widetilde{y_3})$, используя +(\ref{eq:10}), находим +\begin{equation*} + P_1 + P_2 = (x_3, y_3), +\end{equation*} +где +\begin{equation} + \begin{cases} + x_3 = -x_1 - x_2 + \alpha^2 + a_1 \alpha - a_2, \\ + y_3 = -y_1 + \alpha (x_1 - x_3) - a_1 x_3 - a_3. + \end{cases} +\end{equation} + +\begin{example} + На рисунке 15 представлен типичный случай сложения точек $P_1$ и $P_2$. Чтобы + найти $P_1 + P_2$, проводим прямую $\overline{P_1 P_2}$ и в качестве $P_1 + P_2$ + берём точку, симметричную относительно оси $x$ третьей точке, определяемой + пересечением прямой $\overline{P_1 P_2}$ и кривой. + + %% TODO: рис 2 (15) +\end{example} + +Найдём правило вычисления удвоенной точки $P + P$. Будем предполагать, что +$P \neq -P$. Чтобы найти $P + P$, проведём касательную через точку $P$. Эта +прямая задаётся уравнением (\ref{eq:11}). + +Для нахождения углового коэффициента касательной $\alpha$ нужно найти полнй +дифференциал от полинома $f(x, y)$, задающего кривую в форме Вейерштрасса +(2). Получим +\begin{equation} %% TODO: другое \delta + df(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy. +\end{equation} + |