diff options
Diffstat (limited to 'cryptography/lectures/lecture4.tex')
| -rw-r--r-- | cryptography/lectures/lecture4.tex | 145 |
1 files changed, 77 insertions, 68 deletions
diff --git a/cryptography/lectures/lecture4.tex b/cryptography/lectures/lecture4.tex index 16eb0d2..b2089d9 100644 --- a/cryptography/lectures/lecture4.tex +++ b/cryptography/lectures/lecture4.tex @@ -2,26 +2,26 @@ \subsection{Критерий распознавания открытого текста} (а) Открытый текст представляет собой реализацию независимых испытаний случайной -величины, значениями которой являются буквы алфавита \(A = {a_1, a_2, \dots, -a_n}\), появляющиеся в соответствии с распределением вероятностей \(P(A) = -(p(a_1), p(a_2), \dots, p(a_n))\). +величины, значениями которой являются буквы алфавита $A = \{a_1, a_2, \dots, +a_n\}$, появляющиеся в соответствии с распределением вероятностей $P(A) = +(p(a_1), p(a_2), \dots, p(a_n))$. -Требуется определить, является ли случайная последовательность \(c_1 c_2 \dots -c_l\) букв алфавита \(A\) открытым текстом или нет. +Требуется определить, является ли случайная последовательность $c_1 c_2 \dots +c_l$ букв алфавита $A$ открытым текстом или нет. -Пусть \(H_0\) --- гипотеза, состоящая в том, что данная последовательность --- -открытый текст, \(H_1\) --- альтернативная гипотеза. +Пусть $H_0$ --- гипотеза, состоящая в том, что данная последовательность --- +открытый текст, $H_1$ --- альтернативная гипотеза. -В простейшем случае при гипотезе \(H_1\) последовательность \(c_1 c_2 -\dots c_l\) можно рассматривать как случайную и равносильную, то есть при -расшифровании криптограммы с помощью ложного ключа получается "бессмысленная" +В простейшем случае при гипотезе $H_1$ последовательность $c_1 c_2 \dots +c_l$ можно рассматривать как случайную и равносильную, то есть при +расшифровании криптограммы с помощью ложного ключа получается <<бессмысленная>> последовательность знаков. -В более общем случае можно считать, что при гипотезе \(H_1\) последовательность -\(c_1 c_2 \dots c_l\) представляет собой реализацию независимых испытаний +В более общем случае можно считать, что при гипотезе $H_1$ последовательность +$c_1 c_2 \dots c_l$ представляет собой реализацию независимых испытаний некоторой случайной величины, значениями которой являются буквы алфавита -\(A = \{ a_1, \dots, a_n \}\), появляющиеся в соответствии с распределением -вероятностей \(Q(A) = (q(a_1), \dots, q(a_n))\). +$A = \{ a_1, \dots, a_n \}$, появляющиеся в соответствии с распределением +вероятностей $Q(A) = (q(a_1), \dots, q(a_n))$. При таких договорённостях можно применить, например, \emph{наиболее мощный критерий} различения двух простых гипотез, который даёт \emph{лемма @@ -31,63 +31,62 @@ c_l\) букв алфавита \(A\) открытым текстом или н двух родов: \begin{enumerate} \item - критерий может принять открытый текст за случайный набор знаков. Такая - ошибка называется \emph{ошибкой первого рода}, её вероятность равна \(\alpha - = p(H_1/H_0)\). + Критерий может принять открытый текст за случайный набор знаков. Такая + ошибка называется \emph{ошибкой первого рода}, её вероятность равна $\alpha + = p(H_1/H_0)$; \item Критерий может принять случайный набор знаков за открытый текст. Такая - ошибка называется \emph{ошибкой второго рода} и её вероятность \(\beta = - p(H_0/H_1)\). + ошибка называется \emph{ошибкой второго рода} и её вероятность $\beta = + p(H_0/H_1)$. \end{enumerate} Эти ошибки определяют качество работы критерия. В криптографических исследованиях естественно минимизировать вероятность ошибки первого рода, чтобы -не "пропустить" открытый текст. +не <<пропустить>> открытый текст. Лемма Неймана-Пирсона при заданной вероятности первого рода минимизирует также вероятность ошибки второго рода. (б) Критерии на открытый текст, использующие запретные сочетания знаков, -например, k-граммы подряд идущих букв, называются \emph{критериями запретных -k-грамм}. +например, $k$-граммы подряд идущих букв, называются \emph{критериями запретных +$k$-грамм}. -Отбирается некоторое число \(s\) редких k-грамм, которые объявляются запретными. +Отбирается некоторое число $s$ редких $k$-грамм, которые объявляются запретными. -Теперь, просматривая последовательно k-грамму за k-граммой анализируемой -последовательности \(c_1 c_2 \dots c_l\), она объявляется случайной, как только +Теперь, просматривая последовательно $k$-грамму за $k$-граммой анализируемой +последовательности $c_1 c_2 \dots c_l$, она объявляется случайной, как только в ней встретится одна из запретных k-грамм, и открытым текстом в противном случае. Такие критерии также могут совершить ошибки в принятии решения. В простейших случаях их можно рассчитать. Несмотря на свою простоту, критерии запретных -k-грамм являются весьма эффективными. +$k$-грамм являются весьма эффективными. \subsection{(1.4) Математические модели шифров} \subsubsection{(1) Алгебраическая модель шифра} -Введём алгебраическую модель шифра (шифрсистемы), предложенную К. Шенноном. +Введём алгебраическую модель шифра (шифрсистемы), предложенную К.~Шенноном. -Пусть \(X, K, Y\) --- конечные множества возможных открытых текстов, ключей и -криптограмм соответственно; \(E_k : X \to Y\) --- правило зашифрования на ключе -\(k \in K\). +Пусть $X, K, Y$ --- конечные множества возможных открытых текстов, ключей и +криптограмм соответственно; $E_k : X \to Y$ --- правило зашифрования на ключе +$k \in K$. -Множество \(\{ E_k : k \in K \}\) обозначим через \(E\), а множество \(\{ E_k(x) -: x \in X \}\) --- через \(E_k(X)\). +Множество $\{ E_k : k \in K \}$ обозначим через $E$, а множество $\{ E_k(x) : x +\in X \}$ --- через $E_k(X)$. -Пусть \(D_k : E_k(X) \to X\) --- правило расшифрования на ключе \(k \in K\), и -\(D\) --- множество \(\{ D_k : k \in K \}\). +Пусть $D_k : E_k(X) \to X$ --- правило расшифрования на ключе $k \in K$, и $D$ +--- множество $\{ D_k : k \in K \}$. -Если ключ \(k \in K\) представляется в виде \(k = (k_o, k_p)\), где \(k_o\) ---- ключ зашифрования, а \(k_p\) --- ключ расшифрования (причём \(k_o \neq -k_p\)), то \(E_k\) понимается как функция \(E_{k_p}\), а \(D_k\) --- как функция -\(D_{k_p}\). +Если ключ $k \in K$ представляется в виде $k = (k_o, k_p)$, где $k_o$ --- ключ +зашифрования, а $k_p$ --- ключ расшифрования (причём $k_o \neq k_p$), то $E_k$ +понимается как функция $E_{k_p}$, а $D_k$ --- как функция $D_{k_p}$. \emph{Шифром (шифрсистемой)} называется совокупность $$\sum_A = (X, K, Y, E, D)$$ введённых множеств, для которых выполняются следующие свойства: \begin{enumerate} - \item Для любых \(x \in X\) и \(k \in K\) выполняется равенство \(D_k(E_k(x)) = x\); - \item \(Y = \cup_{k \in K} E_k(X)\). + \item Для любых $x \in X$ и $k \in K$ выполняется равенство $D_k(E_k(x)) = x$; + \item $Y = \cup_{k \in K} E_k(X)$. \end{enumerate} Неформально, шифр --- это совокупность множеств возможных открытых текстов (то, @@ -95,51 +94,50 @@ D)$$ введённых множеств, для которых выполняю шифртекстов (то, во что шифруется), правил зашифрования и правил расшифрования. Условие (1) отвечает требованию однозначности расшифрования. Из условия (1) -следует свойство инъективности функции \(E_k\): если \(x_1, x_2 \in X\), причём -\(x_1 \neq x_2\), то при любых \(k \in K\) выполняется неравенство \(E_k(x_1) -\neq E_k(x_2)\). +следует свойство инъективности функции $E_k$: если $x_1, x_2 \in X$, причём +$x_1 \neq x_2$, то при любых $k \in K$ выполняется неравенство $E_k(x_1) \neq +E_k(x_2)$. -Условие (2) означает, что любой элемент \(y \in Y\) может быть представлен в -виде \(E_k(x)\) для подходящих элементов \(x \in X\) и \(k \in K\). +Условие (2) означает, что любой элемент $y \in Y$ может быть представлен в виде +$E_k(x)$ для подходящих элементов $x \in X$ и $k \in K$. -В общем случае утверждение "для любых \(k \in K\) и \(y \in E_k(X)\) выполняется -равенство \(E_k(D_k(y)) = y\)" является неверным. +В общем случае утверждение <<для любых $k \in K$ и $y \in E_k(X)$ выполняется +равенство $E_k(D_k(y)) = y$>> является неверным. -Реальный шифр отождествляется с его математической моделью \(\sum_A\), которая +Реальный шифр отождествляется с его математической моделью $\sum_A$, которая называется \emph{алгебраической моделью шифра}. \subsubsection{(2) Вероятностная модель шифра} -Следуя К. Шеннону, введём априорные распределения вероятностей \(P(X)\) и -\(P(K)\) на множестве \(X\) и \(K\) соответственно. +Следуя К.~Шеннону, введём априорные распределения вероятностей $P(X)$ и $P(K)$ +на множестве $X$ и $K$ соответственно. -Для любого \(x \in X\) определена вероятность \(p_X(x) \in P(X)\) и для любого -\(k \in K\) --- вероятность \(p_K(k) \in P(K)\), причём выполняются равенства -$$\sum_{x \in X} p_X(x) = 1 \text{ и } \sum_{k \in K} p_K(k) = 1$$ +Для любого $x \in X$ определена вероятность $p_X(x) \in P(X)$ и для любого $k +\in K$ --- вероятность $p_K(k) \in P(K)$, причём выполняются равенства $$\sum_{x +\in X} p_X(x) = 1 \, \land \, \sum_{k \in K} p_K(k) = 1$$ -В тех случаях, когда требуется знание распределений \(P(X)\) и \(P(K)\), -используется вероятностная модель \(\Sigma_B\), состоящая из пяти множеств, +В тех случаях, когда требуется знание распределений $P(X)$ и $P(K)$, +используется вероятностная модель $\Sigma_B$, состоящая из пяти множеств, связанных условиями (1) и (2) определения шифра и двух вероятностных -распределений: - -$$\Sigma_B = (X, K, Y, E, D, P(X), P(K))$$ +распределений: $$\Sigma_B = (X, K, Y, E, D, P(X), P(K))$$ Вероятностные характеристики шифров используются только в криптоанализе. -В большинстве случаев множества \(X\) и \(Y\) представляют собой объединения -декартовых степеней некоторых множеств \(A\) и \(B\) соответственно, так что для -некоторых натуральных \(L\) и \(L_1\): $$X = \cup_{L = 1}^L A^l \text{ и } Y = +В большинстве случаев множества $X$ и $Y$ представляют собой объединения +декартовых степеней некоторых множеств $A$ и $B$ соответственно, так что для +некоторых натуральных $L$ и $L_1$: $$X = \cup_{L = 1}^L A^l \, \land \, Y = \cup_{L = 1}^{L_1} B^l$$ -Множества \(A\) и \(B\) называются соответственно \emph{алфавитом открытого -текста} и \emph{алфавитом шифрованного текста}. +Множества $A$ и $B$ называются соответственно \emph{алфавитом открытого текста} +и \emph{алфавитом шифрованного текста}. \subsubsection{(3) Основные требования к шифрам} -Для современны криптографических систем защиты информации сформулированы +Для современных криптографических систем защиты информации сформулированы следующие общепринятые требования: \begin{enumerate} - \item зашифрованное сообщение должно поддаваться чтению только при наличии ключа; + \item + зашифрованное сообщение должно поддаваться чтению только при наличии ключа; \item число операция, необходимых для определения использованного ключа шифрования по фрагменту шифрованного сообщения и соответствующего ему открытого текста, @@ -155,7 +153,18 @@ $$\Sigma_B = (X, K, Y, E, D, P(X), P(K))$$ изменению вида зашифрованного сообщения даже при использовании одного и того же ключа; \item структурные элементы алгоритма шифрования должны быть неизменными; - \item дополнительные биты \dots{} + \item + дополнительные биты, вводимые в сообщение в процессе шифрования, должны + быть полностью и надёжно скрыты в шифрованном тексте; + \item длина шифрованного текста должна быть равной длине исходного текста; + \item + не должно быть простых и легко устанавливаемых зависимостью между ключами, + последовательно используемыми в процессе шифрования; + \item + любой ключ из множества возможных должен обеспечивать надёжную защиту + информации; + \item + алгоритм должен допускать как программную, так и аппаратную реализацию, + при этом изменение длины ключа не должно вести к качественному ухудшению + алгоритма шифрования. \end{enumerate} - -\emph{\emph{ДОПИСАТЬ!!!}} |