1 files changed, 187 insertions, 0 deletions
diff --git a/cryptography/lectures/lecture5.tex b/cryptography/lectures/lecture5.tex
new file mode 100644
index 0000000..8e42a0c
--- /dev/null
+++ b/cryptography/lectures/lecture5.tex
@@ -0,0 +1,187 @@
+% Лекция 5 (03.10.22)
+\subsection{(1.5) Шифры перестановки}
+
+\subsubsection{(1) \emph{Определение}}
+
+Шифр перестановки --- шифр, при котором буквы открытого текста при шифровании
+меняются друг с другом. Ключи шифра является перестановка номеров букв открытого
+текста.
+
+Множество всех подстановок на множестве \(M\) называют любое биективное
+отображение множества \(M\) в себя. Множество всех подстановок на множестве
+\(M\) обозначают через \(S(M)\). Множество \(S(M)\) относительно операции
+суперпозиции отображения образует группу.
+
+Если \(M\) --- конечное множество мощности \(n\), то говорят, что \(S(M)\) ---
+симметрическая группа подстановок степени \(n\).
+
+Группа \(S(M)\) является коммутативной только в случае \(n \leq 2\).
+
+Перенумеровав элементы множества \(M\) некоторым фиксированным образом \(M = \{
+x_1, x_2, \dots, x_n \}\) и отождествив элементы \(x_i\) с их номерами \(i\),
+вместо группы \(S(M)\) можно рассматривать группу \(S(\Omega)\), где \(\Omega =
+\{ 1, 2, \dots, n \}\). Обычно группа \(S(\Omega)\) обозначают через \(S_n\).
+
+Любая подгруппа \(G\) группы \(S_n\) называется \emph{группой подстановок}
+степени \(n\).
+
+Пусть \(X = Y = A^L\) и пусть \(K \subset S_L\). Для любого ключа \(k\),
+открытого текста \(x = (x_1, \dots, x_L)\) и шифрованного текста \(y = (y_1,
+\dots, y_L)\) правила зашифрования и расшифрования \emph{шифра перестановки}
+определяется формулами $$ E_k(x) = (x_{k(1)}, \dots, x_{k(L)}), \, D_k(y)
+= (y_{k^{-1}(1)}, \dots, y_{k^{-1}(L)}) $$ где \(k^{-1}\) --- подстановка,
+обратная к \(k\).
+
+\subsubsection{(2) Маршрутные перестановки}
+
+Широкое применение получили так называемые \emph{маршрутные перестановки},
+основанные на некоторой геометрической фигуре.
+
+Отрезок открытого текста записывается в такую фигуру на некоторой траектории.
+
+Шифрованным текстом является последовательность, полученная при выписывании по
+другой траектории.
+
+\textbf{Примеры}
+
+\begin{enumerate}
+\item \emph{В учении нельзя останавливаться}, 28 букв
+
+в у ч е н и
+и н е л ь з
+я о с т а н
+а в л и в а
+т ь с я - -
+\begin{itemize}
+\item - - - - -
+\end{itemize}
+
+вуиянчееоатвслниьтльсиазнвяа
+
+\item Вертикальная перестановка.
+В этой системе также используется прямоугольная таблица, в которую сообщение
+записывается построкам слева направо.
+
+Выписывается сообщение по вертикали (сверху вниз), при этом столбцы
+выбираются в порядке, определяемом числовым ключом (например, в
+алфавитном порядке букв ключа).
+
+\emph{Без примера ничему не выучишься}, 27 букв
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{llllll}
+б & е & з & п & р & и\\
+м & е & р & а & н & и\\
+ч & е & м & у & н & е\\
+в & ы & у & ч & и & ш\\
+ь & с & я & - & - & -\\
+\hline
+ж & ё & л & у & д & ь\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+рнниеееысбмчвьзрмуяпаучииеш
+\end{enumerate}
+
+Более сложные маршрутные перестановки могут использовать другие геометрические
+фигуры и более "хитрые" маршруты, например, при обходе шахматной доски "ходом
+коня", пути в некотором лабиринте и тому подобное.
+
+\subsubsection{(3) Элементы криптоанализа шифров перестановки}
+
+(а) Приведём основные идеи, используемые при вскрытии вертикальных перестановок.
+
+Заметим, что это буквы каждого столбца заполненного прямоугольника выписываются
+в криптограмму подряд, то есть криптограмма разбивается на отрезки, являющиеся
+столбцами таблицы.
+
+Поэтому при дешифровании следует попытаться соединить две группы
+последовательных букв криптограммы так, чтобы они образовывали читаемые
+комбинации.
+
+Для этого естественно использовать наиболее частые биграммы открытого текста,
+которые можно составить из букв криптограммы.
+
+Если для первой пробы выбрано, например, сочетание НИ, то можно по очереди
+приписывать к каждой букве Н криптограммы каждую букву и из неё.
+
+При этом несколько букв, стоящих до и после данной буквы Н, и несколько букв,
+стоящих до и после данной буквы И, соединяются в пары, то есть получаются два
+столбца букв, записанные рядом:
+
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ll}
+I & II\\
+\ldots{} & \ldots{}\\
+Н & И\\
+\ldots{} & \ldots{}\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+
+Длина столбцов неизвестна, но используя положение конкретных букв, можно
+получить на них некоторые ограничения:
+\begin{enumerate}
+\item Столбцы должны иметь одинаковые длины или первый столбец может быть
+длиннее второго на одну букву, и тогда эта буква --- последняя буква
+сообщения.
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ll}
+\ldots{} & \ldots{}\\
+Р & А\\
+\ldots{} & \ldots{}\\
+У & Ч\\
+Я & -\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\item Если приписываемые друг к другу буквы разделены, например, только четырьмя буквами,
+то можно составить в соседних столбцах не более пяти пар, и длина каждого столбца
+не превышает пяти:
+\begin{center}
+\begin{tabular}{llllll}
+б & е & \emph{з} & п & р & и\\
+м & е & \emph{р} & а & н & и\\
+ч & \emph{е} & \emph{м} & у & н & е\\
+в & \emph{ы} & у & ч & и & ш\\
+ь & \emph{с} & я & - & - & -\\
+\hline
+ж & ё & л & у & д & ь\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\item Ограничением можно послужить появление запретной биграммы
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ll}
+\ldots{} & \ldots{}\\
+Н & И\\
+\ldots{} & \ldots{}\\
+И & Ь\\
+\end{tabular}
+\end{center}
+\end{enumerate}
+
+Для выбранного сочетания НИ получается по одной паре столбцов для каждого
+конкретного выбора букв Н и И из криптограммы, и из них целесообразно отобрать
+ту пару, которая содержит наиболее частые биграммы.
+
+При автоматизации этого процесса можно приписать каждой биграмме вес, равный
+частоте её появления в открытом тексте.
+
+Тогда отбирается та пара столбцов, которая имеет наибольший вес.
+
+Появление одной биграммы с низкой частотой может указать на то, что длину
+столбца надо ограничить.
+
+Выбрав пару столбцов аналогичным образом подбирается к ним третий (справа или
+слева) и так далее. Описанная процедура значительно упрощается при использовании
+вероятных слов, то есть слов, которые могут встретиться в тексте с большой
+вероятностью.
+
+(б) Рассмотрим метод, применимый к любым шифрам перестановки.
+
+Допустим, что к двум или более сообщениям (или отрезкам сообщений) одинаковой
+длины применяется один и тот же шифр перестановки.
+
+Тогда очевидно, что буквы, которые находились на одинаковых местах в открытых
+текстах, окажутся на одинаковых местах и в криптограммах.
+
+Выпишем криптограммы одну под другой так, что первые буквы всех сообщений
+оказываются в первом столбце, вторых --- во втором и так далее.