1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
|
#+TITLE: Алгоритмы алгебры и теории чисел
#+AUTHOR: Андрей Гущин
#+LATEX_CLASS: Lecture
#+LATEX_HEADER: \usepackage{../preamble}
# Лекция 1 (08.09.22)
* Делимость в кольце целых чисел
Множество натуральных чисел можно определить с помощью аксиомы Пеано
1. $1 \in N$
2. $\forall a \in N \; \existsonly a^+$
3. $\forall a \in N \; a^+ \ne 1$
4. $a^+ = b^+ \implies a = b$
5. Если нек подмножество n входящее в мнво нат чисел и оно содержит единицу
и для нек нат $a$ существует последующее число содержащееся в $n$,
то эти множества совпадают
На этих аксиомах строятся вся арифметика натуральных чисел,
то есть любой паре натуральных чисел можно однозначно сопоставить число,
которое будет являться натуральным. При этом будут вып 4 условия
1. a + 1 = a^+
2. сумма будет ассоц
3. сумма будет коммут
4. сумма будет дистрибутивна
Каждой паре нат чисел можно однозн сопост произведение, которое также
будет являться натуральным числом. При этом также будут выполняться 6
условий
1. a \cdot 1 = a^+
2. a \cdot b^+ = ab + a
3. сумма будет ассоц
4. сумма будет коммут
5. сумма будет дистрибутивна
6. ...
Из аксиом 2 и 4 следует что множ нат чисел линейно и упорядочено.
Из множества нат чисел построим множество целых чисел
Опр. Множество целых чисел будем определять как объединение множества натуральных чисел
множ отриц нат чисел и нуля. Обозначается буквой Z. На множестве целых чисел определяются
операции сложения и умножения и задаются теми же правилами, что и для натуральных чисел.
Опр. Пусть над нек множеством \Omega некоторой произвольной природы определены операции сложения
и умножения. Тогда это множество называется кольцом, если выполняются следующие условия:
1. Сложение коммутативно
2. Сложение ассоциативно
3. Существует нулевой элемент, принадлежащий этому множеству такой, что a + 0 = a
4. \forall a \in \Omega существует противоположный ему элемент, такой, что a + -a = 0
5. Умножение должно быть дистрибутивно относительно сложения: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
- Если в кольце умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным.
- Если в кольце умножение ассоциативно, то кольцо называется ассоциативным.
- Если в кольце существует единичный элемент e, такой что a * e = e * a = a, то кольцо
называется кольцом с единицей
- Если в ассоциативном коммутативном кольце с единицей для любого элемента a \ne 0, такой,
что a * a^-1 = a^-1 * a = e, то такое кольцо будет называться полем
- Следует ответить, что множество натуральных чисел является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей
** Делимость целых чисел
Пусть a и b произвольные целые числа и пусть существует нек целое число q, что a = b * q. Тогда можно сказать,
что число a делится на число b. (Записывается как три точки)
Свойства делимости
1. Каждое число a делится на единицу и делится на само себя
2. Отношение делимости транзитивно
3. Если a и b делится на c, то их сумма, разность и произведение на любое
произвольное целое число также будет делиться на c.
4. Пусть дано равенство a_1 + a_2 + \dots + a_m = b_1 + b_2 + \dots + b_n в
котором все члены кроме одного делятся на c. Тогда этот оставшийся член также будет делиться на c.
5. Пусть a и b целые числа. Если
Опр. Пусть a и b целые числа и b \ne 0 и a = bq + r, где r = 0->b, то число q называется неполным частным
или просто частным, а число r является остатком от деления числа a на b.
Теорема. Пусть a и b произвольные числа и b > 0. Частное и остаток от деления a
на b существуют и определены однозначно.
|
