1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
|
% Лекция 2 (11.09.23)
Взяв из каждого класса по одному вычету, получим \emph{полную систему вычетов}.
...
Непустое подмножество $H$ группы $G$ называется \emph{подгруппой} этой группы,
если $H$ образует группу относительно операции группы $G$.
Группа $G$ называется \emph{циклической}, если существует элемент $\alpha \in
G$ такой, что для каждого $b \in G$ существует целое число $i$ такое, что $b =
\alpha^i$.
Такой элемент $\alpha$ называется \emph{образующим элементом} группы $G$.
\begin{theorem}[О циклической подгруппе] %% NOTE: 4
Если $G$ --- группа и $a \in G$, то множество всех степеней $a$ образует
циклическую подгруппу группы $G$, называемую подгруппой, порождённой $a$, и
обозначаемую через $\langle a \rangle$.
\end{theorem}
Пусть $G$ --- группа и $a \in G$. Порядок элемента $a$ определяется как
наименьшее положительное число $t$ такое, что $a^t = 1$, при условии, что такое
целое число существует.
Если такого $t$ не существует, то порядок $a$ определяется как $\infty$ (элемент
бесконечного порядка).
\begin{theorem}[О порядке подгруппы] %% NOTE: 5
Пусть $G$ --- группа и $a \in G$ --- элемент конечного порядка $t$. Тогда
порядок подгруппы, порождённой $a$, равен $t: |\langle a \rangle| = t$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Лагранжа]
Если $G$ --- конечная группа и $H$ подгруппа $G$, то $|H|$ делит $|G|$.
Следовательно, если $a \in G$, то порядок $a$ делит $|G|$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[О циклической группе]
Каждая подгруппа циклической группы $G$ также является циклической. На
самом деле, если $G$ --- циклическая группа порядка $n$, то для каждого
положительного делителя $d$ числа $n$ в $G$ содержится ровно одна подгруппа
порядка $d$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[Порядок элемента и количество образующих]
Пусть $G$ --- группа.
\begin{enumerate}
\item
Если порядок $a \in G$ равен $t$, то порядок $a^k = \frac{t}{\gcd(t, k)}$,
\item
Если $G$ --- циклическая группа порядка $n$ и $d \mid n$, то в $G$ ровно
$\varphi(d)$ элементов порядка $d$. В частности, $G$ имеет $\varphi(n)$
образующих.
\end{enumerate}
\end{theorem}
Две группы $G$ и $G'$ с операциями $\cdot$ и $\circ$ называются \emph{изоморфными}
($G \cong G'$), если существует отображение $f : G \to G'$, такое, что
\begin{enumerate}
\item $(\forall a, b \in G) \quad f(a \cdot b) = f(a) \circ f(b)$;
\item $f$ --- биективно.
\end{enumerate}
\begin{theorem}[Об изоморфизме циклических групп]
Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного)
изоморфны.
\end{theorem}
Положив $G' = G$ в определении изоморфизма, получается изоморфное
отображение $\varphi : G \mapsto G$ группы $G$ на себя, которое называется
\emph{автоморфизмом} группы $G$.
Отображение $f : G \mapsto G'$ группы $(G, \cdot)$ в группу $(G', \circ)$
называется \emph{гомоморфизмом}, если оно согласовано с операциями на группах
$G$ и $G'$, то есть
\begin{equation*}
(\forall a, b \in G) \quad f(a \cdot b) = f(a) \circ f(b)
\end{equation*}
Гомоморфизм вида $f : G \mapsto G$ называется эндоморфизмом. Абелева группа
называется примарной, если порядок каждого её элемента есть степень одного и
того же простого числа $p$.
Всякая абелева группа, не содержащая элементов бесконечного порядка, разлагается
в прямую сумму примарных групп.
%% TODO: 3?
3) \emph{Кольцо} $(R, +, \times)$ состоит из множества $R$ с двумя бинарными
операциями, обозначаемыми $+$ (сложение) и $\times$ (умножение) на $R$,
удовлетворяющими следующим аксиомам:
\begin{enumerate}
\item
$(R, +)$ --- абелева группа с нейтральным элементом, обозначенным 0;
\item
Операция $\times$ ассоциативна, то есть \[ (\forall a, b, c \in R) \quad a
\times (b \times c) = (a \times b) \times c \]
\item
Операция $\times$ дистрибутивна над $+$, то есть \[ a \times (b + c) = (a
\times b) + (a \times c) \] и \[ (b + c) \times a = b \times a + c \times a
\] для всех $a, b, c \in R$.
\end{enumerate}
Кольцо называется \emph{кольцом с единицей}, если оно имеет мультипликативный
нейтральный элемент, обозначаемый 1, где $1 \neq 0$, такой, что
\begin{equation*}
(\forall a \in R) \quad 1 \times a = a \times 1 = a
\end{equation*}
Кольцо называется коммутативным, если
\begin{equation*}
(\forall a, b \in R) \quad a \times b = b \times a
\end{equation*}
Элемента $a$ кольца $R$ называется \emph{обратимым элементом}, если существует
элемент $b \in R$ такой, что $a \times b = 1$.
%% TODO: 4
4) \emph{Поля} --- это коммутативное кольцо с единицей, в котором все ненулевые
элементы имеют мультипликативные обратные.
\emph{Характеристика} поля равна 0, если сумма $\underbrace{1 + 1 + \dots +
1}_{m \text{ раз}}$ не равна нулю для любого $m \geq 1$.
В противном случае характеристикой поля является наименьшее натуральное число
$m$ такое, что $\sum_{i = 1}^m 1 = 0$.
\begin{theorem}[Поле $\Z_n$] %$ NOTE: 10
$\Z_n$ является полем (с обычными операциями сложения и умножения по модулю
$n$) $\iff$ $n$ --- простое число. Если $n$ --- простое, то $\Z_n$ имеет
характеристику $n$.
\end{theorem}
\begin{theorem}[О характеристике поля]
Если характеристика $m$ поля отлична от 0, то $m$ --- простое число.
\end{theorem}
Подмножество $F$ поля $K$ является \emph{подполем} $K$, если $F$ само является
полем по отношению к операциям $K$. В этом случае говорят, что $K$ является
\emph{расширением} поля $F$.
Определим квадратичный характер $\chi$ поля $K$:
\begin{equation*}
\begin{cases} %% TODO: выражения
\chi(a) = 1, &\text{если a --- квадратичный вычет в поле K} \\
\chi(a) = -1, &\text{если a --- квадратичный невычет в поле K} \\
\chi(0) = 0 &
\end{cases}
\end{equation*}
5) Если $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, то \emph{полином} от
неопределённого $x$ над кольцом $R$ --- это выражение вида
\begin{equation*}
f(x) = a_n x^n + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0
\end{equation*}
где каждое $a_i \in R$ и $n \geq 0$. Элемент $a_i$ называется
\emph{коэффициентом} при $x_i$ в $f(x)$.
Если $R$ --- коммутативное кольцо с единицей, кольцо полиномов $R[x]$ --- это
кольцо, образованное множеством всех полиномов от неопределённого $x$, имеющих
коэффициенты из $R$.
Две операции --- это стандартное полиномиальное сложение и умножение с
арифметикой коэффициентов, выполняемой в кольце $R$.
Элемент $\alpha \in R$ есть корень полинома $f(x) \in R[x] \iff (x - \alpha)
\mid f(x)$.
\emph{Кратностью корня} $\alpha \in R$ полинома $f(x) \in R[x]$ называют число
$k \in \N$ со свойствами
\begin{equation*}
(x - \alpha)^k \mid f(x),\, (x - \alpha)^{k + 1} \nmid f(x),
\end{equation*}
и говорят, что $\alpha$ --- \emph{простой корень} $f(x)$, если $k = 1$, и
$\alpha$ --- \emph{кратный корень} $f(x)$, если $k > 1$.
|
