1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
|
% Лекция 3 (18.09.23)
Пусть $R$ --- некоторое кольцо. Подмножество $I \subseteq R, I \neq
\varnothing$, называется \emph{правым идеалом}, если
\begin{enumerate}
\item
$I$ является подгруппой аддитивной группы $R$ (то есть для любых $a, b \in
I$ выполняется $a + b \in I$);
\item
Для любых $x \in R$ и $a \in I$ выполняется $ax \in I$, то есть $Ix
\subseteq I$.
\end{enumerate}
Аналогично определяется \emph{левый идеал}. Если идеал является одновременно
правым и левым, то его называют \emph{двусторонним идеалом} или просто
\emph{идеалом}. В коммутативных кольцах все идеалы двусторонние.
\begin{example}
Если $r$ --- какой-то элемент из коммутативного кольца $R$, то множество $rR$
всегда является идеалом в $R$. Говорят, что $rR$ --- \emph{главный идеал},
порождённый элементом $r \in R$.
\end{example}
\paragraph{Векторные пространства} %% NOTE: 6
\emph{Векторным пространством} $V$ над полем $F$ называется абелева группа
$(V, +)$ вместе с операцией умножения $\cdot : F \times V \to V$ (обычно
обозначаемой сопоставлением) такой, что для всех $a, b \in F$ и $v, w \in V$
выполняются следующие аксиомы:
\begin{enumerate}
\item $a (v + w) = av + aw$;
\item $v (a + b) = av + bv$;
\item $(ab)v = a(bv)$;
\item $1v = v$.
\end{enumerate}
Элементы $V$ называются \emph{векторами}, а элементы $F$ называются
\emph{скалярами}. Групповая операция $+$ называется \emph{векторным сложением},
а операция умножения --- \emph{скалярным умножением}.
Пусть $S = \set{v_1, v_2, \dots, v_n}$ --- конечное подмножество векторного
пространства $V$ над полем $F$.
Линейная комбинация $S$ --- это выражение вида
\begin{equation*}
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n,
\end{equation*}
где каждое $a_i \in F$.
Множество $S$ \emph{линейно зависимо} над $F$, если существуют скаляры $a_1,
a_2,$ $\dots, a_n$, не все нули, такие, что
\begin{equation*}
a_1 v_1 + a_2 v_2 + \dots + a_n v_n = 0
\end{equation*}
Если таких скаляров не существует, то $S$ \emph{линейно независимо} над $F$.
Пусть $V$ --- векторное пространство над полем $F$. Его (конечным)
\emph{базисом} называется такое множество $n$ векторов $v_1, \dots, v_n$, что
любой $w \in V$ однозначно представим в виде линейной комбинации
\begin{equation*}
w = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n,
\end{equation*}
где $a_i \in F$.
\begin{theorem}[О базисе] %% NOTE: 12
Пусть $V$ --- векторное пространство. Если существует один конечный базис $V$
над $F$, то любой другой базис имеет то же число элементов.
\end{theorem}
Если векторное пространство $V$ имеет базис, то количество элементов в базисе
называется \emph{размерностью} $V$ и обозначается $\dim V$.
Если пространство не имеет конечного базиса, оно называется
\emph{бесконечномерным}.
\begin{example}
Полиномы степени $\leq n$ над любым полем $F$ образуют $(n + 1)$-мерное
векторное пространство над $F$ с базисом $1, x, x^2, \dots, x^n$ (базис
не определяется однозначно, например, $1, 1 + x, 1 + x^2, \dots, 1 +
x^n$ --- тоже базис). Коммутативное кольцо все полиномов $F[x]$ является
бесконечномерным векторным пространством над полем $F$.
\end{example}
Пусть $K$ --- расширение поля $F$. Тогда $K$ можно рассматривать как векторное
пространство над подполем $F$, где векторное сложение и скалярное умножение ---
это операции сложения и умножения в поле $K$.
Это означает, что $(K, +)$ --- абелева группа и что определено умножение её
элементов на элементы $F$ (скаляры), подчиняющиеся тождествам
\begin{enumerate}
\item $a (bv) = (ab) v$;
\item $(a + b) v = av + bv$;
\item $a (v + w) = av + aw$;
\item $1v = v$.
\end{enumerate}
для всех $a, b \in F$ и $v, w \in K$.
Размерность этого векторного пространства называется \emph{степенью} $K$ над
$F$ и обозначается $[K: F]$. Если эта степень конечна, то $K$ называется
\emph{конечным расширением} F.
\begin{theorem}[О конечном расширении]
Пусть $F, K, L$ --- поля. Если $L$ --- конечное расширение $K$ и $K$ ---
конечное расширение $F$, то $L$ также является конечным расширением $F$ и
\[ [L: F] = [L: K] [K: F] \]
\end{theorem}
\paragraph{Расширения полей.}
Пусть $F$ и $K$ --- два поля, причём $F \subset K (K / F)$. Поле $K$ называется
\emph{простым расширением} поля $F$, если существует такой элемент $a \in K$,
что $K = F(a)$ --- наименьшее подполе $K$, содержащее $F$ и $a$. Элемент $a$
называется \emph{примитивным элементом} расширения. Подполе поля $K$, отличное
от $K$, называется \emph{собственным полем}. \emph{Простым} называется поле, не
содержащее собственных полей.
Элемент $a \in K$ называется \emph{алгебраическим} над полем $F$, если он
удовлетворяет алгебраическому уравнению
\begin{equation*}
f(a) = \sum_{k = 0}^n c_k a^k = 0,
\end{equation*}
где $c_0, \dots, c_n \in F$.
Полином $f(x)$ называется \emph{аннулирующим полиномом элемента $a$}.
Среди всех аннулирующих полиномов можно выбрать полином наименьшей степени
со старшим коэффициентом, равным единице. Такой полином называется
\emph{минимальным полиномом} элемента $a$ (минимальный полином неприводим, то
есть не разлагается в произведение полиномов меньшей степени).
Алгебраичность элемента измеряется размерностью подполя, которое он порождает.
Расширение полей $F \subset K$ называется \emph{алгебраическим}, если любой
элемент $a \in K$ алгебраичен над $F$. Коротко говорят, что расширение $K$
конечно (алгебраично) над $F$.
Итак, поле $F(a)$ содержит кольцо $R$ полиномов от переменной $a$ с
коэффициентами из $F$, $R = \set{\sum c_k a^k}$, $c_k \in F$.
Имеет место изоморфизм $R \cong F[x] / f(x)$, более того
\begin{equation*}
F(a) = R \cong F[x] / f(x),
\end{equation*}
где $F[x]$ --- кольцо полиномов от одной переменной $x$, $x$ --- формальная
переменная, не имеющая отношения к полю $F(a)$, $a$ --- элемент поля $F(a)$,
$f(x)$ --- неприводимый над $F$ полином такой, что $f(a) = 0$.
Элемент $a$ удовлетворяет уравнению $f(a) = 0$, которое называется
\emph{уравнением, определяющим поле $F(a)$.}
Таким образом, любой элемент поля $F(a)$ в этом случае является полиномом. С
такими полиномами можно обращаться как с классами вычетов по модулю $f(x)$, то
есть степень каждого из них меньше степени полинома $f(x)$. Для некоторого
полинома $f(a) \in F[a]$ равенство $f(a) = 0$ эквивалентно сравнению $f(a)
\equiv 0 \pmod{f(a)}$.
\begin{example}
Пусть $F = \set{0, 1}$. Построим алгебраическое расширение $F(t)$ степени 4.
Выберем неприводимый полином вида $f(x) = x^4 + x + 1$. Обозначим корень
этого полинома через $t$. Тогда $F(t) = F[t] / f(t)$.
\end{example}
Поле $K$ называется \emph{алгебраически замкнутым}, если любой полином из
$K[x]$ степени, большей нуля, имеет в $K$ корень, то есть любое алгебраическое
над полем $K$ число принадлежит этому полю (то есть любой полином из $K[x]$
раскладывается на линейные множители).
Поле $K \supset F$ называется \emph{алгебраическим замыканием} поля $F$, если
$K$ алгебраично над $F$ и алгебраически замкнуто.
\begin{theorem}[Об алгебраичности расширения конечной степени]
Всякое расширение $F \subset K$ конечной степени алгебраично, то есть все
элементы поля $K$ алгебраичны над полем $F$.
\end{theorem}
|
