1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
|
\subsection{Лекция 2 (09.09.21)}
\subsubsection{Частотное представление периодических сигналов}
\textbf{ЗАМЕНИТЬ $l$ на $e$ !!!}
Рассмотрим детерминированный сигнал. В качестве базисной функции примем
$\phi(t) = l^{Pt}, \quad P = \pm j \omega$. Такое представление
функции базисными сигналами будет называться преобразованием Фурье.
Удобно: - применяя формулу Эйлера данное представление даёт возможность
представить в виде суммы гармоний. Формула Эйлера:
\[\cos \omega t = \frac{ l^{j\omega t} + l^{-j \omega t} }{ 2 }\]
Предположим, что функция $u(t)$, которой описывается детерминируемый
сигнал реализуется на интервали $[t_1; t_2]$ и удовлетворяет условию
Дирихле. \emph{Условие Дирихле} означает, что функция непрерывна или
имеет конечное число точек разрыва первого рода, а также имеет конечное
число экстремумов. Определим период повторения $T = t_2 - t_1$. При
этом предполагая, что функция продолжается на всём интервале времени.
Тогда формула сигнала $u(t)$ будет иметь следующий вид: \[
\begin{cases}
u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^\infty A(j k \omega) l^{j k \omega_1 t} \\
A(j k \omega_1) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j k \omega t} dt
\end{cases}
\] A\_j\_k называют комплексным спектром данного сигнала $u(t)$, а
значение этой функции для каждого конкретного $k$ будут называться
\emph{комплексной амплитудой}.
Пусть $k \omega_1 = \omega$ то есть для данного коплексного спектра мы
попробуем построить огибающую. Тогда
\[ A(j \omega) = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) l^{-j \omega t} dt \]
Показательная форма:
\[ A(j k \omega_1) = A(k \omega_1) l^{j \phi(k \omega_1)} \] Функция
$A(k \omega_1)$ --- спектр амплитуд, $l^{j \phi(k \omega_1)}$ ---
спектр фаз. \textbf{Оба они дискретны}. Вторая форма:
\[ A(j k \omega_1) = A_k - j B_k \]
\[ A_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \cos(k \omega_1 t) dt \]
\[ B_k = \frac{2}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) \sin(k \omega_1 t) dt \]
Отсюда видно, что \[ A(j \omega_1) = \sqrt{A_k^2 + B_k^2} \]
\[ \phi(k \omega_1) = \arctan \left( \frac{B_k}{A_k} \right) \] Если в
данных формулах положить $k = 0$, то получится равенство для
постоянной (огибающей) состовляющей сигнала:
\[ \frac{A_0}{2} = \frac{1}{T} \int_{t_1}^{t_2} u(t) dt \]
Отсюда:
\[ u(t) = \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) = \frac{A_0}{2} + \sum_{k = 1}^\infty A(k\omega_1) \cos (k \omega_1 t - \phi(k \omega_1))\]
Спектр амплитуд и спектр фаз согласно данному представлению могут быть
представлены в виде совокупности линий, каждая из которых соответствует
определённой частоте. Поэтому эти спектры называют \emph{линейчатыми}.
Сигналы, линейчатые спектры которых включают гарминоки некоторых частот,
которые не кратны, называют \emph{почти периодическими}.
Согласно этому представлению построим распеределение энергии в спектре
этого сигнала. ???
\subsubsection{Распределение энергии в спектре периодических сигналов}
Пусть имеется период $T$. Тогда Распределение энергии в спектре
периодических сигналов будет определятся интегралом:
\[\int_{0}^{T} |u(t)|^2 dt = \int_{0}^{T} \left| \frac{A_0}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k = 1}^\infty (A(j k \omega_1) e^{j k \omega_1 t} + A(-j k \omega_1) e^{-j k \omega_1 t}) \right|^2 dt = \]
\[
= \frac{A_0^2}{4} \int_{0}^{T} dt +
\left(
\frac{A_0}{2} \sum_{k=1}^\infty A(jk\omega_1) \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt + \frac{A_0}{2} \sum_{k = 1}^\infty A(-j k \omega_1) \int_0^T e^{-j k\omega_1 t} dt +
\right) \]
\[ + \frac{1}{2} \sum\sum A(j k \omega_1) A(-j l \omega_1) \int_0^T e^{j k \omega_1 t} e^{-j k \omega_1 t} dt\]
\ldots{}
\[ \int_0^T e^{jk\omega_1 t} dt = \int_0^T e^{-j k \omega_1 t} dt = 0 \]
Эти два интеграла будут равны 0, если $k$
\[ \int_0^T e^{j \omega_1 t (k - l)} dt = \begin{cases}
T, k = l \\
0, k \neq l
\end{cases}\]
В результате этого у нас останется
\[ \int_0^T |u(t)|^2 dt = \frac{A_0^2}{2} * \frac{T}{2} \sum_{k = 1}^{\infty} | A(j k \omega_1) |^2 \]
Вывод: согласно данному представлению получаем, что средняя за период
энергия будет равна сумме средних энергий, выделяемых каждой гармоникой.
\subsubsection{Частотное представление непериодических сигналов}
Предположим, что соответствующая реальному непериодическому сигналу
$u(t)$ удовлетворяет условию Дирихле и абсолютно интегрируема. Тогда
спектральное представление непериодич сигнала $u(t)$ можно строить
путём увеличения периода периодического сигнала до бесконечности.
С учётом того, что использовался период $\frac{2\pi}{\omega_1}$ будет
иметь представление:
\[ u(t) = \frac{1}{2} \sum_{k = -\infty}^{\infty} \left( \frac{\omega_1}{\pi} \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j k \omega_1 t} dt \right) e^{jk \omega_1 t} \]
Осуществим предельный переход, при этом $T \to \infty$. При этом сумма
перейдёт в интеграл, $\omega_1 = \Delta \omega \to d \omega$,
$k\omega_1 \to \omega$. В результате этих преобразований $u(t)$
Будет иметь вид:
\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} ( \int_{-\infty}^\infty u(t) * e^{-j \omega t} dt) e^{j \omega t} d\omega \]
Обозначим за $j\omega$ Получим:
\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
\[ S(j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) e^{-j\omega t} dt \]
Эта пара называется парой преобразования Фурье для непериодического
сигнала.
Функция $Sj\omega$ называется комплексной спектральной плотностью или
спектральной характеристикой непериодического сигнала. По аналогии с
период сигн, спектр харка имеет следующие представления: Показательная
форма: \[ S(j \omega) = S(\omega) e^{-j\phi(\omega)} \]
$S(\omega)$ -- амплитуда\ldots{} , Спектр фаз --- $e^{-j\phi(\omega)}$.
\[ e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j \sin(\omega t)\]
\[ S(j \omega) = A(\omega) * j B(\omega) \]
\[ A(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} u(t) \cos(\omega t) dt \]
\[ B(\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(t) \sin(\omega t) dt \]
При этом \[ S(\omega) = \sqrt{|A(\omega)|^2 + |B(\omega)|^2} \]
\[ \phi(\omega) = \arctan \frac{B(\omega)}{A(\omega)} \]
\ldots{}
\[ S(\omega) = |S(j \omega)| \]
\ldots{}
\[ u(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} S(\omega) e^{j(\omega t - \phi(\omega))} d\omega =
\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty S(\omega) \cos(\omega t) - \phi(\omega)) d\omega + j \int_{-\infty}^\infty S(\omega) * \sin(\omega t * \phi(\omega) d \omega) \]
А первый в силу \ldots{} можно записать только ???. Таким обр мы получим
тригонометрическую форму ряда фурье.
\[ u(t) = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty S(\omega) \cos(\omega t - \phi(\omega)) d\omega \]
\ldots{} ограничить функцию \ldots{}
\[ S(j \omega) = \int_{t_1}^{t_2} u(t) e^{-j\omega t} dt \]
Получим \[ A(j \omega) = \frac{2}{T} S(j \omega) \]
Если у непериодического сигнала взять единичный импульс можно построить
линейчатый спектр его периодической последовательности.
\subsubsection{Распределение энергии в спектре непериодического сигнала}
Выражение для величины характеризующей \ldots{} запишем след образом:
\[ \int_{-\infty}^\infty |u(t)|^2 dt = \int_{-\infty}^\infty u(t) (\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega ) dt = \]
\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) (\int_{-\infty}^\infty u(t) e^{j \omega t} dt) d\omega = \]
\[ = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty S(j\omega) S(-j\omega) d\omega = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty |S(j\omega)|^2 d\omega \]
Согласно равенству персиваля
\[ = \frac{1}{\pi} \int_0^\infty |S(j \omega)|^2 d\omega \] В соотвии с
этим равенством энергия выделяемая непериодическим сигналом за всё время
его существования можно определить интегрируя квадрат модуля
спектральной харки в интервале частот.
Определим соотношение между длительностью сигнала и шириной его спектра.
Предположим, что сигнал $u(t)$ имеет определённую продолжительность и
имеет спектральную характеристику $S(j\omega)$. Увеличим длительность
сигнала в некоторую $\lambda$ раз и найдём соответствующаю
спектральную характеристику
\[ S_\lambda (j\omega) = \int_{-\infty}^\infty u(\lambda t) e^{-j \omega t} dt = \]
Пусть есть некоторое $\tau = \lambda t$. Тогда
\[ = \frac{1}{\lambda} \int_{-\infty}^\infty u(\tau) e^{-j \omega \tau / \lambda} d\tau = \frac{1}{\lambda} S(j \frac{\omega}{\lambda}) \]
Из данного равенства видно, что спектр удлиннённого или укороченного в
$\lambda$ раз будет в $\lambda$ уже или шире, при этом коэффициент в
$\frac{1}{\lambda}$ изменяет только амплитуды гармоник и не влияет на
ширину спектра. Это связяно с тем, что переменные $t$ и $\omega$
находятся показатель степени экспоненциальной функции как прямого преобр
фурье, так и обратного. Из этого следует, что длительность сигнала и
ширина его спектра не могут быть одновременно ограничены конечными
интервалами. В частности, имеет место соотношение
$\Delta t : \Delta f = const$, где $\Delta t$ --- длительность
импульса, а $\Delta f$ --- ширина.
|
