1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
|
% Лекция 3 (17.09.21)
\begin{example}
На $Z$ рассматривается бинарное отношение $(x, y) \in \varepsilon \iff |x| = |y|$.
Очевидно, что $\varepsilon$ рефлексивно, симметрично и транзитивно.
$\varepsilon$ является эквивалентным на $Z$ с классами $\varepsilon(x) \{ x, -x \}$
\end{example}
\begin{example}
На $Z$ для фиксированного $m \in N$ $(x, y) \in \varepsilon \iff$ $x - y$ делится
на $m$ то есть $x - y = k \cdot m$ для некоторого $k \in Z$.
\begin{itemize}
\item
\textit{Рефлексивность}. $(x, x) \in \varepsilon$ равносильна
$x - x = m \cdot k$, ($\exists k \in R$) --- выполняется
$x - x = m \cdot O$ для $O \in Z$
\item
\textit{Симметричность}.
$(x, y) \in \varepsilon \implies (y, x) \in \varepsilon$,
то есть $x \cdot y = m \cdot k, \, \exists k \in Z \implies
y \cdot x = m \cdot l, \, (\exists l \in Z)$ --- верно,
то есть $l = -k \in Z$
\item
\textit{Транзитивность}.
$(x, y) \in \varepsilon \land (y, z) \in \varepsilon \implies
(x, z) \in epsilon$, то есть
$x - y = m \cdot k, \, (\exists k \in Z) \lor
y - z = m \cdot l, \, (\exists l \in Z) \implies
x -z = m \cdot p, \, (\exists p \in Z)$.
\end{itemize}
$x - z = (x - y) + (y - z) = m \cdot k + m \cdot l = m \cdot (k + l)$ для $k + l \in Z$
Получаем, что $\varepsilon$ --- отношение эквивалентности, которое
обозначается $\text{mod}\, m$ и называется отношением сравнения по модулю $m$.
Классы отношения эквивалентности $\varepsilon$ :
\begin{eqnarray}
\varepsilon(0) &= \{ 0, m, 2m, \dots, -m, -2m \} = m \cdot \Z \\
\varepsilon(1) &= \{ 1, m + 1, 2m + 1, \dots, -m + 1, -2m + 1 \} = m \cdot \Z + 1 \\
&\dots \\
\varepsilon(m - 1) &= \{ m - 1, 2m - 1, \dots \} = m \cdot \Z + (m - 1) \\
\varepsilon(m) &= m \cdot \Z + m = m \cdot (Z + 1) = m \cdot Z = m(0)
\end{eqnarray}
Фактор-множество $\Z/\text{mod}\, m = \{ \varepsilon(0), \dots, \varepsilon(m - 1) \}$
\end{example}
\begin{example}
На множестве $V$ всех векторов на плоскости рассмотрим бинарное отношение $\varepsilon$:
$(a, b) \in \varepsilon \iff (a \upuparrows b \land |a| = |b|)$.
$\varepsilon$ является отношением эквивалентности с классами эквивалентности
$\varepsilon(a) = \{ x \in V : a \upuparrows x \land |a| = |x| \}$.
Фактор-множество: $V/\varepsilon = \{ \varepsilon(a) : a \in V \}$
\end{example}
\begin{definition}
Бинарное отношение $\varepsilon$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
эквивалентности} (или просто \textit{эквивалентностью}), если оно рефлексивно,
симметрично и транзитивно.
\end{definition}
\begin{definition}
\textit{Ядром отображения} $\phi: A \to b$ называется бинарное отношение
$ker \phi$ на множестве $A$, которое определяется по формуле
\begin{equation*}
ker \phi \{ (a, b) \in A^2 : \phi(a) = \phi(b) \}
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{definition}
\textit{Каноническим отображением} эквивалентности $\varepsilon$ называется
отображение $nat \varepsilon$ множества $A$ на фактор-множество $A/\varepsilon$,
которое каждому элементу $a \in A$ ставит в соответствие содержащий его класс
эквивалентности $[a]$. Легко видель, что $ker nat \varepsilon = \varepsilon$
\end{definition}
\begin{definition}
Подмножество $T \subset A$ называется полной системой представителей классов
эквивалентности $\varepsilon$ на множестве $A$, если:
\begin{enumerate}
\item $\varepsilon(T) = A$
\item из условия $t_1 \equiv t_2(\varepsilon)$ следует $t_1 = t_2$
\end{enumerate}
\end{definition}
Классы эквивалентности $[t] \in A/\varepsilon$ могут быть отождествленны со
своими представителями $t$ и фактор-множество $A/\varepsilon$ может быть
отождествленно с множеством $T$.
...
Извествен алгоритм построения СДНФ для любой формулы $\Phi (\neq 0)$
|
