1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
|
% Лекция 4 01.10.21
\begin{definition}[Принцип двойственности]
Если утверждение $\Phi$ верно для всех упорядоченных множеств, то
двойственное ему утверждение также верно для всех упорядоченных множеств.
\end{definition}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item
Для утверждения ``если в упорядоченном множестве существует $\sup X$,
то он единственнен'' двойственным будет ``если в упорядоченном
множестве существует $\inf X$, то он единственен''.
\item
Для утверждения ``упорядоченное множество $(A, \leq)$ имеет
наибольший элемент'' двойственным будет ``упорядоченное множество
$(A, \leq)$ имеет наименьший элемент''.
\end{enumerate}
\end{example}
\subsection{Упорядочивание множества слов}
\subsection{Подмножества и морфизмы упорядоченных множеств}
\begin{lemma}[Цорна]
Если в упорядоченном множестве любая цепь имеет верхнюю
грань, то каждый элемент этого множества содержится в
некотором максимальном элементе.
\end{lemma}
\begin{lemma}[Аксиома выбора]
Для любого множества $A$ существует такая функция
$f : P(A) \to A$, что $f(X) \in X$ для любого $X \in P(A)$.
\end{lemma}
\begin{definition}
Упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности},
если каждое его непустое подмножество имеет минимальный элемент.
\end{definition}
\begin{lemma}[Обобщённый принцип индукции]
Если упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности}
и подмножество $B \subset A$ содержит все такие элементы $a \in A$, для
которых при всех $x < a$ выполняется $x \in B$, то $B = A$.
\end{lemma}
\begin{definition}
\textbf{Морфизмы} --- это отображения $\varphi : A \to B$, которые сохряняют
дополнительную алгебраическую структуру на множества $(A, B)$.
Если $a_1 \leq_A a_2 \implies \varphi(a_1) \leq_B \varphi(a_2) \quad (\forall a_1, a_2 \in A)$
\end{definition}
\begin{example}
$\varphi : (\N, \leq_\N) \to (\Z, \leq_\Z)$
\end{example}
\subsection{Отношение квазипорядка}
\begin{definition}
Бинарное отношение $\omega$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
квазипорядка} (или просто \textit{квазипорядком}), если оно рефлексивно
и транзитивно.
Отношение $\delta = \omega \cap \omega^{-1}$ называется \textit{ядром}
квазипорядка $\omega$.
\end{definition}
\begin{example}
\begin{enumerate}
\item
Любая эквивалентность $\equiv$ и любой порядок $\leq$ на множестве
$A$ являются квазипорядками с ядрами $\delta = \equiv$ и
$\delta = \Delta_A$ соответственно.
\item
Отношение делимости $|$ на множество целых чисел $\Z$ является
квазипорядком с ядром $\delta = \{ (n, \mp n) | n \in \Z\}$.
\item
Отношение логического следлвания на множестве $F_{AB}$ формул
логики высказываний является квазипорядком, ядром которого
является отношение логической равносильности формул.
\item
Отношение достижимости вершин в ориентированном графе является
квазипорядком, ...
\end{enumerate}
\end{example}
|
