Добавил реферат по матану "Физические приложения криволинейного интеграла"

1 files changed, 503 insertions, 0 deletions

diff --git a/refmat2/refmat2.tex b/refmat2/refmat2.tex
new file mode 100644
index 0000000..f9b3241
--- /dev/null
+++ b/refmat2/refmat2.tex
@@ -0,0 +1,503 @@
+\documentclass[bachelor, och, referat]{SCWorks}

+% параметр - тип обучения - одно из значений:

+%    spec     - специальность

+%    bachelor - бакалавриат (по умолчанию)

+%    master   - магистратура

+% параметр - форма обучения - одно из значений:

+%    och   - очное (по умолчанию)

+%    zaoch - заочное

+% параметр - тип работы - одно из значений:

+%    referat    - реферат

+%    coursework - курсовая работа (по умолчанию)

+%    diploma    - дипломная работа

+%    pract      - отчет по практике

+% параметр - включение шрифта

+%    times    - включение шрифта Times New Roman (если установлен)

+%               по умолчанию выключен

+\usepackage{subfigure}

+\usepackage{tikz,pgfplots}

+\pgfplotsset{compat=1.5}

+\usepackage{float}

+

+%\usepackage{titlesec}

+\setcounter{secnumdepth}{4}

+%\titleformat{\paragraph}

+%{\normalfont\normalsize}{\theparagraph}{1em}{}

+%\titlespacing*{\paragraph}

+%{35.5pt}{3.25ex plus 1ex minus .2ex}{1.5ex plus .2ex}

+

+\titleformat{\paragraph}[block]

+{\hspace{1.25cm}\normalfont}

+{\theparagraph}{1ex}{}

+\titlespacing{\paragraph}

+{0cm}{2ex plus 1ex minus .2ex}{.4ex plus.2ex}

+

+% --------------------------------------------------------------------------%

+

+

+\usepackage[T2A]{fontenc}

+\usepackage[utf8]{inputenc}

+\usepackage{graphicx}

+\graphicspath{ {./images/} }

+\usepackage{tempora}

+

+\usepackage[sort,compress]{cite}

+\usepackage{amsmath}

+\usepackage{amssymb}

+\usepackage{amsthm}

+\usepackage{mathtools}

+\usepackage{fancyvrb}

+\usepackage{listings}

+\usepackage{listingsutf8}

+\usepackage{longtable}

+\usepackage{array}

+\usepackage[english,russian]{babel}

+

+\usepackage[colorlinks=true]{hyperref}

+\usepackage{url}

+

+\usepackage{underscore}

+\usepackage{setspace}

+\usepackage{indentfirst} 

+\usepackage{mathtools}

+\usepackage{amsfonts}

+\usepackage{enumitem}

+\usepackage{tikz}

+

+\newcommand{\eqdef}{\stackrel {\rm def}{=}}

+\newcommand{\specialcell}[2][c]{%

+\begin{tabular}[#1]{@{}c@{}}#2\end{tabular}}

+

+\renewcommand\theFancyVerbLine{\small\arabic{FancyVerbLine}}

+

+\newtheorem{lem}{Лемма}

+

+\begin{document}

+

+% Кафедра (в родительном падеже)

+\chair{}

+

+% Тема работы

+\title{Физические приложения криволинейного интеграла}

+

+% Курс

+\course{2}

+

+% Группа

+\group{231}

+

+% Факультет (в родительном падеже) (по умолчанию "факультета КНиИТ")

+\department{факультета КНиИТ}

+

+% Специальность/направление код - наименование

+%\napravlenie{09.03.04 "--- Программная инженерия}

+%\napravlenie{010500 "--- Математическое обеспечение и администрирование информационных систем}

+%\napravlenie{230100 "--- Информатика и вычислительная техника}

+%\napravlenie{231000 "--- Программная инженерия}

+\napravlenie{10.05.01 "--- Компьютерная безопасность}

+

+% Для студентки. Для работы студента следующая команда не нужна.

+% \studenttitle{Студентки}

+

+% Фамилия, имя, отчество в родительном падеже

+\author{Гущина Андрея Юрьевича}

+

+% Заведующий кафедрой

+% \chtitle{} % степень, звание

+% \chname{}

+

+%Научный руководитель (для реферата преподаватель проверяющий работу)

+\satitle{преподаватель} %должность, степень, звание

+\saname{Е. В. Разумовская}

+

+% Руководитель практики от организации (только для практики,

+% для остальных типов работ не используется)

+% \patitle{к.ф.-м.н.}

+% \paname{С.~В.~Миронов}

+

+% Семестр (только для практики, для остальных

+% типов работ не используется)

+%\term{8}

+

+% Наименование практики (только для практики, для остальных

+% типов работ не используется)

+%\practtype{преддипломная}

+

+% Продолжительность практики (количество недель) (только для практики,

+% для остальных типов работ не используется)

+%\duration{4}

+

+% Даты начала и окончания практики (только для практики, для остальных

+% типов работ не используется)

+%\practStart{30.04.2019}

+%\practFinish{27.05.2019}

+

+% Год выполнения отчета

+\date{2021}

+

+\maketitle

+

+% Включение нумерации рисунков, формул и таблиц по разделам

+% (по умолчанию - нумерация сквозная)

+% (допускается оба вида нумерации)

+% \secNumbering

+

+\tableofcontents

+

+%-------------------------------------------------------------------------------------------

+\section{Криволинейный интеграл первого рода}

+

+\subsection{Определение}

+

+Пусть $s$ --- натуральный параметр кривой $\Gamma$, $0 \leq s \leq L$ и функция

+$f(x)$, $(x \in \mathbb{R}^m)$ определена в точках кривой $\Gamma$. Определённый

+интеграл

+\begin{equation*}

+    \int_0^l f(x_1(s), x_2(s), \dots, x_n(s)) \; ds

+\end{equation*}

+(если он существует) называется криволинейным интегралом первого рода от $f(x)$ 

+по кривой $\Gamma$ и обозначается

+\begin{equation*}

+    \int_\Gamma f(x) \; ds

+\end{equation*}

+

+Если вместо натурального параметра использоавать любой другой параметр 

+$t \in [a; b]$, то

+\begin{equation*}

+    \int_\Gamma f(x) ds = \int_a^b f(x_1(t), \dots, x_m(t)) |x'(t)| dt

+\end{equation*}

+По сути, была повторена схема Римана: разбиваем кривую на произвольные частичные

+дуги. На каждой дуге выбираем произвольную точку и составляем частичную сумму,

+умножая значение функции в этой точке на длину частичной дуги этой кривой.

+Если у суммы существует предел при стремлении диаметра к 0, и этот предел не

+зависит от способа разбиения и от выбора промежуточных точек, то он и называется

+криволинейным интегралом первого рода от $f(x)$ по длине кривой.

+

+

+\subsection{Основные свойства криволинейного интеграла первого рода}

+

+\begin{enumerate}

+    \item

+        Для функций $f_1(x, y, z)$ и $f_2(x, y, z)$ и постоянных $c_1$ и $c_2$

+        выполняется равенство

+        \begin{equation*}

+            \int_\Gamma (c_1 f_1(x, y, z) + c_2 f_2(x, y, z)) dt =

+            c_1 \int_\Gamma f_1(x, y, z) dt + c_2 \int_\Gamma f_2(x, y, z) dt

+        \end{equation*}

+

+    \item

+        Если кривая $\Gamma$ составлена из кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, то

+        \begin{equation*}

+            \int_\Gamma f(x, y, z) dt = 

+            \int_{\Gamma_1} f(x, y, z) dt + \int_{\Gamma_2} f(x, y, z)

+        \end{equation*}

+

+    \item 

+        Значение криволинейного интеграла на кривой не зависит от её ориентации:

+        \begin{equation*}

+            \int_{\Gamma^+} f(x, y, z) dt = \int_{\Gamma^-} f(x, y, z) dt

+        \end{equation*}

+\end{enumerate}

+

+\subsection{Вычисление криволинейного интеграла первого рода}

+

+Формула для вычисления криволинейного интеграла по линии $\Gamma$ зависит от

+способа задания этой линии.

+

+\begin{enumerate}

+    \item 

+        Линия задана в пространстве (или на плоскости) параметрически:

+        \begin{align*}

+            \begin{rcases*}

+                x = x(t) \\

+                y = y(t) \\

+                z = z(t)

+            \end{rcases*} \; t &\in [a; b] \implies \\

+            \int_\Gamma f(x, y, z) dt &= 

+            \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \cdot

+            \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt

+        \end{align*}

+

+        На плоскости справедлива аналогичная формула:

+        \begin{equation*}

+            \int_\Gamma f(x, y) dt = 

+            \int_a^b f(x(t), y(t)) \cdot

+            \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt

+        \end{equation*}

+

+    \item

+        Линия $\Gamma$ задана на плоскости $XOY$ явно, то есть 

+        $\Gamma: y = y(x), \, x \in [a; b] \implies$

+        \begin{equation*}

+            \int_\Gamma f(x, y) \, dt = 

+            \int_a^b f(x, y(x)) \cdot \sqrt{1 + (y_x')^2} \, dx

+        \end{equation*}

+

+    \item

+        Линия $\Gamma$ задана на плоскости в полярной системе координат

+        уравнением $r = r(\varphi) \implies$

+        \begin{align*}

+            x &= r(\varphi) \cdot \cos \varphi,

+            y = r(\varphi) \cdot \sin \varphi,\\

+            dt &= \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = 

+            \sqrt{r^2 + (r')^2} \, d\varphi \implies\\

+            \int_\Gamma f(x, y) \, dt &= 

+            \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} f(r(\varphi) \cos \varphi,

+            r(\varphi \sin \varphi)) \sqrt{r^2 + (r')^2} d\varphi

+        \end{align*}

+\end{enumerate}

+

+\subsection{Применение криволинейного интеграла первого рода}

+

+\subsubsection{Масса материальной линии}

+

+Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$

+распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке.

+Тогда общую массу кривой можно вычислить через криволинейный интеграл 

+первого рода, с помощью формул, указанных в предыдущем разделе.

+

+Например, если кривая $\Gamma$ задана в параметрическом виде с помощью векторной функции

+$\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$, то её масса описывается формулой

+\begin{equation*}

+    m = \int_a^b \rho(x(t), y(t), z(t)) 

+    \sqrt{

+        \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 +

+        \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 +

+        \left( \frac{dz}{dt} \right)^2

+    } dt

+\end{equation*}

+

+А в случае кривой в пространтсве массу можно определить как

+\begin{equation*}

+    m = \int_\Gamma \rho(x, y, z) dt

+\end{equation*}

+

+\subsubsection{Момент инерции}

+

+Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$

+распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке.

+Тогда момент инерции кривой $\Gamma$ относительно некоторой оси $s$ равен

+\begin{equation*}

+    I_s = \int_\Gamma R^2 (x, y, z) \cdot \rho(x, y, z) dl

+\end{equation*}

+где $R(x, y, z)$ --- расстояние от некоторой точки $M(x, y, z) \in \Gamma$ до

+оси $s$.

+

+\subsubsection{Координаты центра масс}

+

+Допустим, что вдоль некоторой пространственной материальной кривой $\Gamma$

+распределена масса с плотностью $\rho(x, y, z)$ в каждой своей точке. Тогда

+центра масс этой кривой имеет координаты $C(x_0, y_0, z_0)$:

+\begin{equation*}

+    x_0 = \frac{m_x}{m(\Gamma)}, \, 

+    y_0 = \frac{m_y}{m(\Gamma)}, \,

+    z_0 = \frac{m_z}{m(\Gamma)}

+\end{equation*}

+где $m(\Gamma) = \int_\Gamma \rho(x, y, z) dt$ --- масса кривой, а

+\begin{align*}

+    m_x &= \int_\Gamma x \cdot \rho(x, y, z) dt, \\

+    m_y &= \int_\Gamma y \cdot \rho(x, y, z) dt, \\

+    m_z &= \int_\Gamma z \cdot \rho(x, y, z) dt

+\end{align*}

+

+\section{Криволинейный интеграл второго рода}

+

+\subsection{Определение}

+

+Пусть 

+\begin{align*}

+    \overline{F}(x) 

+    &= (F_1(x), F_2(x), \dots, F_m(x)) =\\

+    &= (F_1(x_1, \dots, x_m), F_2(x_1, \dots, x_m), \dots, F_m(x_1, \dots, x_m))

+\end{align*}

+

+--- вектор-функция, причём её координаты функции $F_i(x)$ непрерывны в точках

+кривой $\Gamma$. Тогда криволинейным интегралом второго рода от вектор-функции

+$\overline{F}(x)$ по кривой $\Gamma$ с уравнением $x = x(s), \, 0 \leq s \leq L$

+называется криволинейный интеграл первого рода следующего вида:

+

+\begin{equation*}

+    \int_0^L \overline{F}(x(s)) \cdot x'(s) \; dt

+\end{equation*}

+

+где $\overline{F}(x(s)) \cdot x'(s)$ --- скалярное произведение двух векторов $=$ 

+\begin{equation*}

+    = \displaystyle\sum_{i = 1}^m F_i(x(s)) x_i'(s) = 

+    \displaystyle\sum_{i = 1}^m F_i(x_1(s), \dots, x_m(s)) x_i'(s)    

+\end{equation*}

+

+Криволинейный интеграл второго рода обозначают следующим образом:

+\begin{equation*}

+    \int_\Gamma F_1 dx_1 + F_2 dx_2 + \dots + F_m dx_m

+\end{equation*}

+

+Пусть параметр $t$ даёт ту же ориентацию кривой, что и натуральный параметр $s$,

+тогда

+\begin{equation*}

+    \int_\Gamma F_1 dx_1 + F_2 dx_2 + \dots + F_m dx_m =

+    \int_a^b \left( \sum_{i = 1}^m F_i(x(t)) x_i'(t) \right) dt

+\end{equation*}

+

+Если же этот параметр даёт противоположную ориентацию, то 

+\begin{equation*}

+    \int_\Gamma \sum_{i = 1}^m F_i dx_i =

+    -\int_a^b \left( \sum_{i = 1}^m F_i(x(t)) x_i'(t) \right) dt

+\end{equation*}

+

+Таким образом, криволинейный интеграл второго рода зависит от ориентации кривой.

+

+

+\subsection{Основные свойства криволинейного интеграла второго рода}

+

+\begin{enumerate}

+    \item

+        Для вектор-функций $\vec{F}_1(x, y, z)$ и $\vec{F}_2(x, y, z)$ и 

+        постоянных $c_1$ и $c_2$ выполняется равенство

+        \begin{equation*}

+            \int_\Gamma (c_1 \vec{F}_1(x, y, z) + c_2 \vec{F}_2(x, y, z)) \vec{d}s =

+            c_1 \int_\Gamma \vec{F}_1(x, y, z) dt + c_2 \int_\Gamma \vec{F}_1(x, y, z) \vec{d}s

+        \end{equation*}

+

+    \item

+        Если кривая $\Gamma$ составлена из кривых $\Gamma_1$ и $\Gamma_2$, то

+        \begin{equation*}

+            \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) dt = 

+            \int_{\Gamma_1} \vec{F}(x, y, z) dt + \int_{\Gamma_2} \vec{F}(x, y, z)

+        \end{equation*}

+

+    \item 

+        Значение криволинейного интеграла на кривой зависит от её ориентации

+        (продемонстрировано в предыдущем пункте):

+        \begin{equation*}

+            \int_{\Gamma^+} \vec{F}(x, y, z) dt = \int_{\Gamma^-} \vec{F}(x, y, z) dt

+        \end{equation*}

+\end{enumerate}

+

+\subsection{Вычисление криволинейного интеграла второго рода}

+

+Вычисление криволинейного интеграла второго рода сводится к вычислению 

+определённого интеграла. Найдём $d\vec{s}$ --- раскладывая этот вектор по

+векторам канонического базиса, получаем 

+$d\vec{s} = dx \cdot \vec{i} + dy \cdot \vec{j} + dz \cdot \vec{k}$

+Тогда получаем, что

+\begin{align*}

+    \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} &= P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz \\

+    \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} &= 

+    \int_\Gamma P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz

+\end{align*}

+

+Далее, формула для вычисления криволинейного интеграла по линии $\Gamma$ зависит

+от способа задания этой линии.

+

+\begin{enumerate}

+    \item

+        Пусть кривая задана в пространстве парааметрически:

+        \begin{align*}

+            \begin{rcases*}

+                x = x(t) \\

+                y = y(t) \\

+                z = z(t)

+            \end{rcases*} \; t &\in [a; b] \implies \\

+            \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{t} &= 

+            \int_\Gamma P(x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =\\

+            &= \int_{t_1}^{t_2} [P(x(t), y(t), z(t)) x'(t) + \\

+            &+ Q(x(t), y(t), z(t)) y'(t) + R(x(t), y(t), z(t)) z'(t)] dt

+        \end{align*}

+        

+        Аналогично при задании кривой в плоскости.

+

+    \item

+        Пусть кривая задана на плоскости графиком $y = y(x) \implies$

+        \begin{align*}

+            \int_\Gamma \vec{F}(x, y) d\vec{l} &=

+            \int_\Gamma P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\\

+            &= \int_{x_1}^{x_2} [P(x, y(x)) + Q(x, y(x)) y'(x)] dx

+        \end{align*}

+

+    \item

+        Пусть кривая задана на плоскости в полярной системе координат уравнением

+        $r = r(\varphi) \implies$

+        \begin{align*}

+            x = r(\varphi) &\cdot \cos \varphi, \,

+            y = r(\varphi) \cdot \sin \varphi \implies\\

+            \int_\Gamma \vec{F}(x, y) d\vec{l} &=

+            \int_\Gamma P(x, y) dx + Q(x, y) dy =\\

+            &= \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} [

+                P(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) (r'(\varphi) \cos \varphi - r(\varphi) \sin \varphi) + \\

+                &+ Q(r(\varphi) \cos \varphi, r(\varphi) \sin \varphi) (r'(\varphi) \sin \varphi - r(\varphi) \cos \varphi)

+            ] d\varphi

+        \end{align*}

+\end{enumerate}

+

+\subsection{Применение криволинейного интеграла второго рода}

+

+\subsubsection{Механический смысл, работа силы}

+

+Работа силы --- мера действия силы, зависящая от её модуля и направления и от

+перемещения точки приложения силы. Если сила $\vec{F}$ постоянна по модулю и 

+направлению, а перемещение $\vec{M_0 M_1} = \vec{s}$ прямолинейно, то работа 

+определяется равенством $A = |\vec{F}| \cdot |\vec{s}| \cdot \cos \alpha$, где

+$\alpha$ --- угол между направлениями силы и перемещения.

+

+В общем случае для вычисления работы силы вводят понятие элементарное работы

+$dA = |\vec{F}| \cdot |d\vec{s}| \cdot \cos \alpha$, где $d\vec{s}$ --- вектор

+элементарного перемещения точки приложения силы.

+

+В декартовых координатах 

+\begin{align*}

+    d\vec{s} = dx \cdot \vec{i} + dy \cdot \vec{j} + dz \cdot \vec{k}, \\

+    \vec{F} = P(x, y, z) \cdot \vec{i} + Q(x, y, z) \cdot \vec{j} + R(x, y, z) \cdot \vec{k}

+\end{align*}

+

+Элементарная работа будет равна

+\begin{equation*}

+    dA = P(x, y, z) \cdot dx + Q(x, y, z) \cdot dy + R(x, y, z) \cdot dz

+\end{equation*}

+

+Работа силы на конечном перемещении определяется как предел интегральной суммы

+соответствующих элементарных работ и при перемещении по кривой $\Gamma$ выражается

+криволинейным интегралом второго рода:

+\begin{equation*}

+    \int_\Gamma \vec{F}(x, y, z) \cdot d\vec{s} =

+    \int_\Gamma P(x, y, z) \cdot dx + Q(x, y, z) \cdot dy + R(x, y, z) \cdot dz

+\end{equation*}

+

+Таким образом, криволинейный интеграл второго рода определяет значение работы

+силы при перемещении по кривой точки единичной массы.

+

+\subsubsection{Закон Ампера}

+

+Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией $\vec{B}$ вдоль замкнутого

+контура $\Gamma$ пропорционален полному току, протекающему через область, 

+ограниченную контуром $\Gamma$ (рис. \ref{fig:amper}). Это выражается формулой 

+\begin{equation*}

+    \int_\Gamma \vec{B} \cdot d\vec{r} = \mu_0 I

+\end{equation*}

+где $\mu_0$ --- магнитная проницаемость вакуума.

+

+\begin{figure}[H]

+    \centering

+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{amper.png}

+    \caption{}

+    \label{fig:amper}

+\end{figure}

+

+\subsubsection{Закон Фарадея}

+

+Электродвижущая сила $\varepsilon$, наведённая в замкнутом контуре $\Gamma$

+равна скорости изменения магнитного потока $\psi$, проходящего через данный

+контур (рис. \ref{fig:faraday}):

+\begin{equation*}

+    \varepsilon = \int_\Gamma \vec{E} \cdot d\vec{r} =

+    -\frac{d\psi}{dt}

+\end{equation*}

+

+\begin{figure}[H]

+    \centering

+    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{faraday.png}

+    \caption{}

+    \label{fig:faraday}

+\end{figure}

+

+

+\end{document}
\ No newline at end of file