1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
|
\documentclass[a4paper,oneside]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{minted}
\setminted{fontsize=\small, breaklines=true, style=emacs, linenos}
\usepackage{graphicx}
\graphicspath{ {./images/} }
\usepackage{float}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[subsection]
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
% --- Определение --- %
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}{Определение}[subsection]
\newtheorem*{definition*}{Определение}
% ------------------- %
\title{{Алгоритмы алгебры и теории чисел}\\{Лабораторная работа №1}}
\author{Гущин Андрей, 431 группа, 1 подгруппа}
\date{\the\year{} г.}
\begin{document}
\maketitle
\section{Задача}
Решите сравнение вида $ax \equiv b \pmod{m}$ с помощью алгоритма Евклида.
\section{Алгоритм}
Алгоритм Евклида, вычисляющий наибольший общий делитель двух чисел, можно расширить
для нахождения по заданным числам $a$ и $b$ таких целых $x$ и $y$, что
$ax + by = d$, где $d$ --- $\gcd(a, b)$.
Пусть для положительных целых чисел $a$ и $b$ $(a > b)$ известны $d = \gcd(a, b)
= \gcd(b, a \pmod{b})$, а также числа $x'$ и $y'$, для которых $d = x'b + y'(a
\pmod{b})$. Тогда значения $x$ и $y$, являющиеся решениями уравнения $ax + by =
d$, находятся из соотношений
\begin{equation*}
x = y', y = x' - y' \frac{a}{b}
\end{equation*}
Линейным сравнением называется уравнение вида $ax \equiv b \pmod{m}$. Оно имеет
решение тогда и только тогда, когда $b$ делится на $d = \gcd(a, m)$. Если $d >
1$, то уравнение можно упростить, заменив его на $a'x \equiv b' \pmod{m'}$),
где $a' = a / d$, $b' = b / d$, $m' = m / d$. После такого преобразования числа
$a'$ и $m'$ являются взаимно простыми.
Алгоритм решения уравнения $a'x \equiv b' \pmod{m'}$) со взаимно простыми $a'$ и
$m'$ состоит из двух частей:
\begin{enumerate}
\item
Решаем уравнение $a'x = 1 \pmod{m'}$). Для этого при помощи расширенного
алгоритма Евклида ищем решение $(x_0, y_0)$ уравнения $a'x + m'y = 1$. Взяв
по модулю $m'$ последнее равенство, получим $a'x_0 = 1 \pmod{m'}$).
\item
Умножим на $b'$ равенство $a'x_0 = 1 \pmod{m'}$). Получим $a'(b'x_0) = b'
\pmod{m'}$), откуда решением исходного уравнения $a'x = b' \pmod{m'}$) будет
$x = b'x_0 \pmod{m'}$).
\end{enumerate}
Все решения сравнения находят по формуле $x_i = x + m'i$, где $i = 0, \dots, d -
1$.
\section{Реализация}
Для реализации программы использовался язык программирования Rust с системой
сборки cargo.
\inputminted{rust}{../../lab1/src/main.rs}
\section{Тестирование}
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{test.png}
\end{figure}
\end{document}
|
