summaryrefslogtreecommitdiff
diff options
context:
space:
mode:
Diffstat
-rw-r--r--lab3/lab3.py70
-rw-r--r--lab3/report/lab3.tex346
-rw-r--r--lab3/report/task1.tex512
-rw-r--r--lab3/task1-generate.py36
4 files changed, 874 insertions, 90 deletions
diff --git a/lab3/lab3.py b/lab3/lab3.py
index bb41579..2ddcc18 100644
--- a/lab3/lab3.py
+++ b/lab3/lab3.py
@@ -181,6 +181,10 @@ def mat_multiply(a: np.array, b: np.array):
return np.matmul(a, b)
+def mat_invert(a: np.array):
+ return np.linalg.inv(a)
+
+
def check_matrices():
def read_matrix(n: int, m: int) -> np.array:
a = []
@@ -193,6 +197,7 @@ def check_matrices():
print("2 - Умножение матрицы на скаляр;")
print("3 - Транспонирование матриц;")
print("4 - Умножение матриц;")
+ print("5 - Вычисление обратной матрицы;")
test = int(input("> "))
if test == 1:
n, m = map(int, input("Введите размерность матриц: ").split())
@@ -231,59 +236,13 @@ def check_matrices():
print("Произведение матриц:")
print(mat_multiply(a, b))
+ elif test == 5:
+ n, m = map(int, input("Введите размерность матрицы: ").split())
+ print("Введите матрицу:")
+ a = read_matrix(n, m)
-############
-# Задача 1 #
-############
-
-def task1():
- print("Задача 1:")
- elements = "a b c d".split()
- cayley = np.array([
- list("abab"),
- list("abab"),
- list("abcd"),
- list("abcd"),
- ])
- if check_associativity(cayley, elements):
- print("Данная операция является ассоциативной")
- else:
- print("Данная операция не является ассоциативной")
-
-############
-# Задача 2 #
-############
-
-def task2(l: float):
- print("Задача 2:")
- a = np.array([
- [1, -2],
- [-3, l]
- ])
- e = np.identity(2)
- b = mat_add(
- mat_add( mat_multiply(a, a),
- mat_scale(10 - l / 2, a) ),
- mat_scale(l / 2, e)
- )
- print(b)
-
-############
-# Задача 3 #
-############
-
-def task3(l: float):
- print("Задача 3:")
- a = np.array([
- [ -1, l, 3],
- [l / 3, 2, 8 - l / 3]
- ])
- b = np.array([
- [-l, 2],
- [ 1, 10 - l / 2],
- [-3, l]
- ])
- print(mat_multiply(a, b))
+ print("Результат:")
+ print(mat_invert(a))
############
@@ -300,13 +259,6 @@ def main():
if flag.lower() == "да":
check_matrices()
- flag = input("Выполнить задания? (да/НЕТ) ")
- if flag.lower() == "да":
- l = 6
- task1()
- task2(l)
- task3(l)
-
if __name__ == "__main__":
main() \ No newline at end of file
diff --git a/lab3/report/lab3.tex b/lab3/report/lab3.tex
index a06a190..88ad2f2 100644
--- a/lab3/report/lab3.tex
+++ b/lab3/report/lab3.tex
@@ -65,10 +65,18 @@ y)$ записывается $x + y$.
\end{itemize}
\end{definition}
+\newpage % cringe
+
\subsection{Основные операции над бинарными отношениями}
\begin{enumerate}
- \item Теоретико-множественные операции;
+ \item
+ Теоретико-множественные операции:
+ \begin{itemize}
+ \item объединение $\cup$;
+ \item пересечение $\cap$;
+ \item дополнение $\neg$.
+ \end{itemize}
\item
Обращение бинарных отношений: обратным для бинарного отношения $\rho
\subset A \times B$ называется бинарное отношение $\rho^{-1} \subset B
@@ -84,10 +92,42 @@ y)$ записывается $x + y$.
\subsection{Основные операции над матрицами}
\begin{enumerate}
- \item Сложение матриц
- \item Умножение матрицы на скаляр
- \item Транспонирование матрицы
- \item Умножение матриц
+ \item \textbf{Сумма и разность матриц.}
+
+ Суммой $A + B$ матриц $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ размерности $N
+ \times M$ называется матрица $C = (c_{ij})$ размерности $N \times M$,
+ где $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \; (\forall 0 \leq i < N) (\forall 0 \leq j < M)$.
+
+ Разностью $A - B$ матриц $A = (a_{ij})$ и $B = (b_{ij})$ размерности $N
+ \times M$ называется матрица $C = (c_{ij})$ размерности $N \times M$,
+ где $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \; (\forall 0 \leq i < N) (\forall 0 \leq j < M)$.
+
+ \item \textbf{Произведение матрицы на скаляр.}
+
+ Произведением матрицы $A = (a_{ij})$ размерности $N \times M$ на скаляр
+ $\alpha$ называется матрица $C = (c_{ij})$ размерности $N \times M$, где
+ $c_{ij} = \alpha \cdot a_{ij} \; (\forall 0 \leq i < N) (\forall 0 \leq j < M)$.
+
+ \item \textbf{Транспонирование матрицы.}
+
+ Транспонированной по отношению к матрице $A = (a_{ij})$ размерности $N
+ \times M$ называется матрица $A^T = (a^T_{ij})$ размерности $M \times N$
+ где $a^T_{ij} = a_{ji} \; (\forall 0 \leq i < N) (\forall 0 \leq j < M)$.
+
+ \item \textbf{Произведение матриц.}
+
+ Произведением матрицы $A = (a_{ij})$ размерности $N \times M$ на матрицу
+ $B = (b_{ij})$ размерности $M \times K$ называется матрица $C =
+ (c_{ij})$ размерности $N \times K$, где $\displaystyle c_{ij} =
+ \sum_{k = 0}^{K - 1} a_{ik} + \sum_{k = 0}^{K - 1} b_{kj} \;
+ (\forall 0 \leq i < N) (\forall 0 \leq j < M)$
+
+ \item \textbf{Обращение матрицы.}
+
+ Обратная матрица $A^{-1}$ "--- это такая матрица, при умножении которой
+ на исходную матрицу $A$ получается единичная матрица $E$. То есть:
+ \[AA^{-1} = A^{-1}A = E\]
+
\end{enumerate}
\section{Алгоритмы проверки свойств операций}
@@ -159,7 +199,7 @@ y)$ записывается $x + y$.
\begin{enumerate}
\item
- Если $(\forall 0 \leq i, j < N) \; m_{ij} = m_{ji}$, то ответ "---
+ Если $(\forall 0 \leq i, j < N) \; m_{ij} = m_{ji} = 1$, то ответ "---
<<Операция является обратимой>>;
\item Иначе, ответ "--- <<Операция не является обратимой>>.
\end{enumerate}
@@ -169,9 +209,9 @@ y)$ записывается $x + y$.
%
\subsection{Проверка на дистрибутивность}
-\textit{Вход.} Таблица Кэли $M^\cdot = (m^\cdot_{ij})$ размерности $N \times N$
-для операции $\cdot$ на множестве $A$, таблица Кэли $M^+ = (m^+_{ij})$
-размерности $N \times N$ для операции $+$ на множестве $A$
+\textit{Вход.} Таблица Кэли $A = (a_{ij})$ размерности $N \times N$
+для операции $\cdot$ на множестве $S$, таблица Кэли $B = (b_{ij})$
+размерности $N \times N$ для операции $+$ на множестве $S$
\textit{Выход.} <<Операция является дистрибутивной>> или <<Операция не является
дистрибутивной>>.
@@ -185,10 +225,10 @@ y)$ записывается $x + y$.
\begin{enumerate}
\item
- Если $(\forall 0 \leq i, j, k < N)$ выполняются равенства $m^\cdot_{it}
- = m^+_{pq}$ и $m^\cdot_{ti} = m^+_{rs}$, где $t$ "--- индекс $m^+_{jk}$,
- $p$ "--- индекс $m^\cdot_{ij}$, $q$ "--- индекс $m^\cdot_{ik}$, $r$ "---
- индекс $m^\cdot_{ji}$, $s$ "--- индекс $m^\cdot_{ki}$, то ответ "---
+ Если $(\forall 0 \leq i, j, k < N)$ выполняются равенства $a_{it}
+ = b_{pq}$ и $a_{ti} = b_{rs}$, где $t$ "--- индекс $b_{jk}$,
+ $p$ "--- индекс $a_{ij}$, $q$ "--- индекс $a_{ik}$, $r$ "---
+ индекс $a_{ji}$, $s$ "--- индекс $a_{ki}$, то ответ "---
<<Операция является дистрибутивной>>;
\item Иначе, ответ "--- <<Операция не является дистрибутивной>>.
\end{enumerate}
@@ -208,7 +248,7 @@ $\sigma$ размерности $N \times N$.
$\rho \cup \sigma$.
\begin{enumerate}
- \item $(\forall 0 \leq i, j < N - 1) \; c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
+ \item $(\forall 0 \leq i, j < N - 1) \; c_{ij} = a_{ij} \lor b_{ij}$.
\end{enumerate}
Трудоёмкость алгоритма --- $O(N^2)$.
@@ -224,7 +264,7 @@ $\sigma$ размерности $N \times N$.
$\rho \cap \sigma$.
\begin{enumerate}
- \item $(\forall 0 \leq i, j < N - 1) \; c_{ij} = a_{ij} \cdot b_{ij}$.
+ \item $(\forall 0 \leq i, j < N - 1) \; c_{ij} = a_{ij} \land b_{ij}$.
\end{enumerate}
Трудоёмкость алгоритма --- $O(N^2)$.
@@ -271,7 +311,7 @@ $\rho\sigma$.
\begin{enumerate}
\item Ответом является матрица $C = A \cdot B$, вычисленная с помощью
- алгоритма 5.4 Умножения матриц.
+ алгоритма 5.4 Произведения матриц.
\end{enumerate}
Трудоёмкость алгоритма --- $O(N^3)$.
@@ -279,7 +319,7 @@ $\rho\sigma$.
\section{Алгоритмы выполнения операций над матрицами}
%
-\subsection{Сложение матриц}
+\subsection{Сумма и разность матриц}
\textit{Вход.} Матрица $A = (a_{ij})$ размерности $N \times M$, матрица
$B = (b_{ij})$ размерности $N \times M$.
@@ -289,13 +329,13 @@ $B = (b_{ij})$ размерности $N \times M$.
\begin{enumerate}
\item
$(\forall 0 \leq i < N) (\forall 0 \leq j < M) \;
- c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$
+ c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ (либо $c_{ij} = a_{ij} - b_{ij}$)
\end{enumerate}
-Трудоёмкость алгоритма --- $O(N^2)$.
+Трудоёмкость алгоритма --- $O(N \cdot M)$.
%
-\subsection{Умножение матрицы на скаляр}
+\subsection{Произведение матрицы на скаляр}
\textit{Вход.} Матрица $A = (a_{ij})$ размерности $N \times M$, скаляр $\alpha$.
@@ -307,7 +347,7 @@ $B = (b_{ij})$ размерности $N \times M$.
a'_{ij} = \alpha \cdot a_{ij}$
\end{enumerate}
-Трудоёмкость алгоритма --- $O(N^2)$.
+Трудоёмкость алгоритма --- $O(N \cdot M)$.
%
\subsection{Транспонирование матрицы}
@@ -320,10 +360,10 @@ $B = (b_{ij})$ размерности $N \times M$.
\item $(\forall 0 \leq i < N) (\forall 0 \leq j < M) \; a^T_{ji} = a_{ij}$
\end{enumerate}
-Трудоёмкость алгоритма --- $O(N^2)$.
+Трудоёмкость алгоритма --- $O(N \cdot M)$.
%
-\subsection{Умножение матриц}
+\subsection{Произведение матриц}
\textit{Вход.} Матрица $A = (a_{ij})$ размерности $N \times M$, матрица $B =
(b_{ij})$ размерности $M \times K$.
@@ -337,6 +377,28 @@ $B = (b_{ij})$ размерности $N \times M$.
c_{ij} = \sum_{k = 0}^{K - 1} a_{ik} + \sum_{k = 0}^{K - 1} b_{kj}$
\end{enumerate}
+Трудоёмкость алгоритма --- $O(N \cdot M \cdot K)$.
+
+%
+\subsection{Обращение матрицы}
+
+\textit{Вход.} Матрица $A = (a_{ij})$ размерности $N \times N$.
+
+\textit{Выход.} Матрица $A^{-1} = (a'_{ij})$ размерности $N \times N$.
+
+\begin{enumerate}
+ \item Находим определитель матрицы $|A|$;
+ \item
+ Находим матрицу $A^T$, вычисленная с помощью алгоритма 5.3
+ Транспонирования матриц;
+ \item
+ Вычисляем элементы союзной матрицы $A^*$ как алгебраические дополнения
+ матрицы $A^T$;
+ \item
+ Ответом является матрица $A^{-1} = |A|^{-1} \cdot A^*$, вычисленная с
+ помощью алгоритма 5.2 Произведения матрицы на скаляр.
+\end{enumerate}
+
Трудоёмкость алгоритма --- $O(N^3)$.
\section{Программная реализация}
@@ -354,7 +416,7 @@ $B = (b_{ij})$ размерности $N \times M$.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{test2.png}
- \caption{Проверка свойства транзитивности для двух операций}
+ \caption{Проверка свойства дистрибутивности для двух операций}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
@@ -366,7 +428,7 @@ $B = (b_{ij})$ размерности $N \times M$.
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{test4.png}
- \caption{Проверка операции умножения двух матриц}
+ \caption{Проверка операции произведения двух матриц}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
@@ -375,12 +437,234 @@ $B = (b_{ij})$ размерности $N \times M$.
\caption{Проверка операции транспонирования матрицы}
\end{figure}
-\begin{figure}[H]
- \centering
- \includegraphics[width=0.8\textwidth]{test6.png}
- \caption{Ответы на задачи (Вариант 6)}
-\end{figure}
-
+\section{Решение задач}
+
+\subsection*{Задание 1}
+
+Необходимо исследовать на ассоциативность бинарную операцию, заданную следующей
+таблицей Кэли:
+\begin{equation*}
+ \begin{bmatrix}
+ . & a & b & c & d \\
+ a & a & b & a & b \\
+ b & a & b & a & b \\
+ c & a & b & c & d \\
+ d & a & b & c & d \\
+ \end{bmatrix}
+\end{equation*}
+
+\input{task1.tex}
+
+Можно заметить, что условие ассоциативности $(\forall 0 \leq i, j, k < N)$
+выполнено, поэтому можно сделать вывод, что бинарная операция, заданная
+данной таблицей Кэли обладает свойство ассоциативности.
+
+\subsection*{Задание 2}
+
+Необходимо вычислить значение выражения
+\begin{equation*}
+ A^2 + \left( 10 - \frac{\lambda}{2} \right) \cdot A + \frac{\lambda}{2} \cdot E, \,
+ \text{где } A = \begin{pmatrix}
+ 1 & -2 \\
+ -3 & \lambda
+ \end{pmatrix}, \, \lambda = 6
+\end{equation*}
+
+Вычислим значение $A^2 = (m_{ij})$:
+\begin{align*}
+ m_{11} &= 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-3) = 7 \\
+ m_{12} &= 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot \lambda = -14 \\
+ m_{21} &= (-3) \cdot 1 + 6 \cdot (-3) = -21 \\
+ m_{22} &= (-3) \cdot -2 + \lambda \cdot \lambda = 42
+\end{align*}
+
+Получаем $A^2 = \begin{pmatrix}
+ 7 & -14 \\
+ -21 & 42
+\end{pmatrix}$
+
+$\displaystyle\left( 10 - \frac{\lambda}{2} \right)
+= \displaystyle\left( 10 - \frac{6}{2} \right)
+= \displaystyle\left( 10 - 3 \right) = 7$, поэтому
+\begin{equation*}
+ \left( 10 - \frac{\lambda}{2} \right) \cdot A = 7 \cdot \begin{pmatrix}
+ 1 & -2 \\
+ -3 & \lambda
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ 1 \cdot 7 & -2 \cdot 7 \\
+ -3 \cdot 7 & \lambda \cdot 7
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ 7 & -14 \\
+ -21 & 42
+ \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+Матрица $E$ "--- единичная матрица, поэтому
+\begin{equation*}
+ \frac{\lambda}{2} \cdot E = \begin{pmatrix}
+ \frac{\lambda}{2} & 0 \\
+ 0 & \frac{\lambda}{2}
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ 3 & 0 \\
+ 0 & 3
+ \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+В результате получаем
+\begin{align*}
+ A^2 &+ \left( 10 - \frac{\lambda}{2} \right) \cdot A + \frac{\lambda}{2} \cdot E = \\
+ &= \begin{pmatrix}
+ 7 & -14 \\
+ -21 & 42
+ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
+ 7 & -14 \\
+ -21 & 42
+ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
+ 3 & 0 \\
+ 0 & 3
+ \end{pmatrix} = \\
+ &= \begin{pmatrix}
+ 7 + 7 + 3 & -14 - 14 + 0 \\
+ -21 - 21 + 0 & 42 + 42 + 3
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ 17 & -28 \\
+ -42 & 87
+ \end{pmatrix}
+\end{align*}
+
+\subsection*{Задание 3}
+
+Необходимо вычислить произведение матриц $A \cdot B$, где
+$\lambda = 6$,
+\begin{equation*}
+ A = \begin{pmatrix}
+ -1 & \lambda & 3 \\
+ \frac{\lambda}{3} & 2 & 8 - \frac{\lambda}{3}
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ -1 & 6 & 3 \\
+ 2 & 2 & 6
+ \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+\begin{equation*}
+ B = \begin{pmatrix}
+ -\lambda & 2 \\
+ 1 & 10 - \frac{\lambda}{2} \\
+ -3 & \lambda
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ -6 & 2 \\
+ 1 & 7 \\
+ -3 & 6
+ \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+Вычислим произведение $A \cdot B = C = (c_{ij})$:
+\begin{align*}
+ c_{11} &= (-1) \cdot (-6) + 6 \cdot 1 + 3 \cdot (-3) = 6 + 6 - 9 = 3 \\
+ c_{12} &= (-1) \cdot 2 + 6 \cdot 7 + 3 \cdot 6 = -2 + 42 + 18 = 58 \\
+ c_{21} &= 2 \cdot (-6) + 2 \cdot 1 + 6 \cdot (-3) = -12 + 2 - 18 = -28 \\
+ c_{22} &= 2 \cdot 2 + 2 \cdot 7 + 6 \cdot 6 = 4 + 14 + 36 = 54
+\end{align*}
+
+В результате получаем
+\begin{equation*}
+ A \cdot B = \begin{pmatrix}
+ 3 & 58 \\
+ -28 & 54
+ \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+\subsection*{Задание 4}
+
+Необходимо решить матричное уравнение $2 \cdot X + 6 \cdot A = B$, где
+$\lambda = 6$,
+\begin{equation*}
+ A = \begin{pmatrix}
+ -1 & \lambda & 3 \\
+ -\lambda & 4 & -1 \\
+ \frac{\lambda}{3} & 2 & 8 - \frac{\lambda}{3}
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ -1 & 6 & 3 \\
+ -6 & 4 & -1 \\
+ 2 & 2 & 6
+ \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+\begin{equation*}
+ B = \begin{pmatrix}
+ -\lambda & -3 & 2 \\
+ 1 & \lambda + 1 & 10 - \frac{\lambda}{2} \\
+ -3 & 5 & \lambda
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ -6 & -3 & 2 \\
+ 1 & 7 & 7 \\
+ -3 & 5 & 6
+ \end{pmatrix}
+\end{equation*}
+
+Преобразуем исходное уравнение:
+\begin{align*}
+ 2 \cdot X + 6 \cdot A &= B \\
+ 2 \cdot X &= B - 6 \cdot A \\
+ X &= 0.5 \cdot B - 3 \cdot A
+\end{align*}
+
+Вычислим слагаемые в правой части:
+\begin{align*}
+ 0.5 \cdot B &= 0.5 \cdot \begin{pmatrix}
+ -6 & -3 & 2 \\
+ 1 & 7 & 7 \\
+ -3 & 5 & 6
+ \end{pmatrix} = \\
+ &= \begin{pmatrix}
+ -6 \cdot 0.5 & -3 \cdot 0.5 & 2 \cdot 0.5 \\
+ 1 \cdot 0.5 & 7 \cdot 0.5 & 7 \cdot 0.5 \\
+ -3 \cdot 0.5 & 5 \cdot 0.5 & 6 \cdot 0.5
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ -3 & -1.5 & 1 \\
+ 0.5 & 3.5 & 3.5 \\
+ -1.5 & 2.5 & 3
+ \end{pmatrix}
+\end{align*}
+
+\begin{align*}
+ 3 \cdot A &= 3 \cdot \begin{pmatrix}
+ -1 & 6 & 3 \\
+ -6 & 4 & -1 \\
+ 2 & 2 & 6
+ \end{pmatrix} = \\
+ &= \begin{pmatrix}
+ -1 \cdot 3 & 6 \cdot 3 & 3 \cdot 3 \\
+ -6 \cdot 3 & 4 \cdot 3 & -1 \cdot 3 \\
+ 2 \cdot 3 & 2 \cdot 3 & 6 \cdot 3
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ -3 & 18 & 9 \\
+ -18 & 12 & -3 \\
+ 6 & 6 & 18
+ \end{pmatrix}
+\end{align*}
+
+В результате получаем:
+\begin{align*}
+ X &= 0.5 \cdot B - 3 \cdot A = \begin{pmatrix}
+ -3 & -1.5 & 1 \\
+ 0.5 & 3.5 & 3.5 \\
+ -1.5 & 2.5 & 3
+ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
+ -3 & 18 & 9 \\
+ -18 & 12 & -3 \\
+ 6 & 6 & 18
+ \end{pmatrix} = \\
+ &= \begin{pmatrix}
+ -3 - 3 & -1.5 + 18 & 1 + 9 \\
+ 0.5 - 18 & 3.5 + 12 & 3.5 - 3 \\
+ -1.5 + 6 & 2.5 + 6 & 3 + 18
+ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
+ -6 & 16.5 & 10 \\
+ -17.5 & 15.5 & 0.5 \\
+ 4.5 & 8.5 & 21
+ \end{pmatrix}
+\end{align*}
\conclusion
diff --git a/lab3/report/task1.tex b/lab3/report/task1.tex
new file mode 100644
index 0000000..1f6b6fc
--- /dev/null
+++ b/lab3/report/task1.tex
@@ -0,0 +1,512 @@
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 0 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 0 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 0 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 0 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 1 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 1 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 1 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 1 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 2 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 2 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 2 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 2 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 3 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 3 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 3 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 0, \, j = 3 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 0 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 0 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 0 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 0 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 1 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 1 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 1 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 1 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 2 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 2 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 2 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 2 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 3 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 3 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 3 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 1, \, j = 3 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 0 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 0 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 0 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = c \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 2 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 0 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = d \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 3 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 1 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 1 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 1 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = c \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 2 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 1 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = a, m_{ik} = d \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 0, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 3 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 2 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = c, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 2, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 2 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = c, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 2, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 2 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = c, m_{ik} = c \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 2, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 2 \\
+ &m_{pk} = c, \, m_{jq} = c \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 2 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = c, m_{ik} = d \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 2, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 3 \\
+ &m_{pk} = d, \, m_{jq} = d \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 3 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = c, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 2, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 3 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = c, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 2, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 3 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = c, m_{ik} = c \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 2, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 2 \\
+ &m_{pk} = c, \, m_{jq} = c \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 2, \, j = 3 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = c, m_{ik} = d \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 2, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 3 \\
+ &m_{pk} = d, \, m_{jq} = d \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 0 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 0 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 0 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = c \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 2 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 0 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = d \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 3 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 1 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 1 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 1 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = c \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 2 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 1 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = b, m_{ik} = d \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 1, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 3 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 2 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = d, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 3, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 2 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = d, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 3, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 2 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = d, m_{ik} = c \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 3, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 2 \\
+ &m_{pk} = c, \, m_{jq} = c \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 2 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = d, m_{ik} = d \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 3, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 3 \\
+ &m_{pk} = d, \, m_{jq} = d \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 3 \\
+ &k = 0 \\
+ &m_{ji} = d, m_{ik} = a \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 3, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 0 \\
+ &m_{pk} = a, \, m_{jq} = a \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 3 \\
+ &k = 1 \\
+ &m_{ji} = d, m_{ik} = b \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 3, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 1 \\
+ &m_{pk} = b, \, m_{jq} = b \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 3 \\
+ &k = 2 \\
+ &m_{ji} = d, m_{ik} = c \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 3, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 2 \\
+ &m_{pk} = c, \, m_{jq} = c \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
+\begin{align*}
+ \text{Рассмотрим } &i = 3, \, j = 3 \\
+ &k = 3 \\
+ &m_{ji} = d, m_{ik} = d \\
+ &(\text{Индекс } m_{ji}) = p = 3, \, (\text{индекс } m_{ik}) = q = 3 \\
+ &m_{pk} = d, \, m_{jq} = d \\
+ &\text{Можно заметить, что } m_{pk} = m_{jq}
+\end{align*}
diff --git a/lab3/task1-generate.py b/lab3/task1-generate.py
new file mode 100644
index 0000000..80a746e
--- /dev/null
+++ b/lab3/task1-generate.py
@@ -0,0 +1,36 @@
+import numpy as np
+
+d = {'a': 0, 'b': 1, 'c': 2, 'd': 3}
+d1 = 'abcd'
+n = len(d)
+cayley = [
+ list("abab"),
+ list("abab"),
+ list("abcd"),
+ list("abcd"),
+]
+
+for i in range(n):
+ for j in range(n):
+ elem = cayley[i][j]
+ cayley[i][j] = d[elem]
+
+cayley = np.array(cayley, dtype=int)
+
+for i in range(n):
+ for j in range(n):
+ for k in range(n):
+ p = cayley[j, i]
+ q = cayley[i, k]
+ pk = cayley[p, k]
+ jq = cayley[j, q]
+ print("\\begin{align*}")
+ print(f" \\text{{Рассмотрим }} &i = {i}, \\, j = {j} \\\\")
+ print(f" &k = {k} \\\\")
+ print(f" &m_{{ji}} = {d1[p]}, m_{{ik}} = {d1[q]} \\\\")
+ print(f" &(\\text{{Индекс }} m_{{ji}}) = p = {p}, \\, (\\text{{индекс }} m_{{ik}}) = q = {q} \\\\")
+ print(f" &m_{{pk}} = {d1[pk]}, \\, m_{{jq}} = {d1[jq]} \\\\")
+ if pk != jq:
+ raise ValueError("что-то пошло не так...")
+ print(f" &\\text{{Можно заметить, что }} m_{{pk}} = m_{{jq}}")
+ print("\\end{align*}") \ No newline at end of file
generated by cgit v1.2.3 (git 2.25.1) at 2025-12-18 15:22:05 +0000