Добавлены org файлы по Теории чисел, Теории графов и Построению защищённых сетей

1 files changed, 79 insertions, 0 deletions

diff --git a/aaitch/aaitch.org b/aaitch/aaitch.org
new file mode 100644
index 0000000..d8c44e5
--- /dev/null
+++ b/aaitch/aaitch.org
@@ -0,0 +1,79 @@
+#+TITLE: Алгоритмы алгебры и теории чисел
+#+AUTHOR: Андрей Гущин
+#+LATEX_CLASS: Lecture
+#+LATEX_HEADER: \usepackage{../preamble}
+
+# Лекция 1 (08.09.22)
+* Делимость в кольце целых чисел
+
+Множество натуральных чисел можно определить с помощью аксиомы Пеано
+1. $1 \in N$
+2. $\forall a \in N \; \existsonly a^+$
+3. $\forall a \in N \; a^+ \ne 1$
+4. $a^+ = b^+ \implies a = b$
+5. Если нек подмножество n входящее в мнво нат чисел и оно содержит единицу
+   и для нек нат $a$ существует последующее число содержащееся в $n$,
+   то эти множества совпадают
+
+На этих аксиомах строятся вся арифметика натуральных чисел,
+то есть любой паре натуральных чисел можно однозначно сопоставить число,
+которое будет являться натуральным. При этом будут вып 4 условия
+1. a + 1  = a^+
+2. сумма будет ассоц
+3. сумма будет коммут
+4. сумма будет дистрибутивна
+
+Каждой паре нат чисел можно однозн сопост произведение, которое также
+будет являться натуральным числом. При этом также будут выполняться 6
+условий
+1. a \cdot 1  = a^+
+2. a \cdot b^+ = ab + a
+3. сумма будет ассоц
+4. сумма будет коммут
+5. сумма будет дистрибутивна
+6. ...
+
+Из аксиом 2 и 4 следует что множ нат чисел линейно и упорядочено.
+
+Из множества нат чисел построим множество целых чисел
+
+Опр. Множество целых чисел будем определять как объединение множества натуральных чисел
+     множ отриц нат чисел и нуля. Обозначается буквой Z. На множестве целых чисел определяются
+     операции сложения и умножения и задаются теми же правилами, что и для натуральных чисел.
+
+Опр. Пусть над нек множеством \Omega некоторой произвольной природы определены операции сложения
+     и умножения. Тогда это множество называется кольцом, если выполняются следующие условия:
+     1. Сложение коммутативно
+     2. Сложение ассоциативно
+     3. Существует нулевой элемент, принадлежащий этому множеству такой, что a + 0 = a
+     4. \forall a \in \Omega существует противоположный ему элемент, такой, что a + -a = 0
+     5. Умножение должно быть дистрибутивно относительно сложения: a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
+
+- Если в кольце умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным.
+- Если в кольце умножение ассоциативно, то кольцо называется ассоциативным.
+- Если в кольце существует единичный элемент e, такой что a * e = e * a = a, то кольцо
+  называется кольцом с единицей
+- Если в ассоциативном коммутативном кольце с единицей для любого элемента a \ne 0, такой,
+  что a * a^-1 = a^-1 * a = e, то такое кольцо будет называться полем
+- Следует ответить, что множество натуральных чисел является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей
+
+** Делимость целых чисел
+
+Пусть a и b произвольные целые числа и пусть существует нек целое число q, что a = b * q. Тогда можно сказать,
+что число a делится на число b. (Записывается как три точки)
+
+Свойства делимости
+1. Каждое число a делится на единицу и делится на само себя
+2. Отношение делимости транзитивно
+3. Если a и b делится на c, то их сумма, разность и произведение на любое
+   произвольное целое число также будет делиться на c.
+4. Пусть дано равенство a_1 + a_2 + \dots + a_m = b_1 + b_2 + \dots + b_n в
+   котором все члены кроме одного делятся на c. Тогда этот оставшийся член также будет делиться на c.
+5. Пусть a и b целые числа. Если 
+
+Опр. Пусть a и b целые числа и b \ne 0 и a = bq + r, где r = 0->b, то число q называется неполным частным
+     или просто частным, а число r является остатком от деления числа a на b.
+
+Теорема. Пусть a и b произвольные числа и b > 0. Частное и остаток от деления a
+         на b существуют и определены однозначно.
+