diff options
Diffstat (limited to 'aaitch')
| -rw-r--r-- | aaitch/aaitch.org | 79 |
1 files changed, 79 insertions, 0 deletions
diff --git a/aaitch/aaitch.org b/aaitch/aaitch.org new file mode 100644 index 0000000..d8c44e5 --- /dev/null +++ b/aaitch/aaitch.org @@ -0,0 +1,79 @@ +#+TITLE: Алгоритмы алгебры и теории чисел +#+AUTHOR: Андрей Гущин +#+LATEX_CLASS: Lecture +#+LATEX_HEADER: \usepackage{../preamble} + +# Лекция 1 (08.09.22) +* Делимость в кольце целых чисел + +Множество натуральных чисел можно определить с помощью аксиомы Пеано +1. $1 \in N$ +2. $\forall a \in N \; \existsonly a^+$ +3. $\forall a \in N \; a^+ \ne 1$ +4. $a^+ = b^+ \implies a = b$ +5. Если нек подмножество n входящее в мнво нат чисел и оно содержит единицу + и для нек нат $a$ существует последующее число содержащееся в $n$, + то эти множества совпадают + +На этих аксиомах строятся вся арифметика натуральных чисел, +то есть любой паре натуральных чисел можно однозначно сопоставить число, +которое будет являться натуральным. При этом будут вып 4 условия +1. a + 1 = a^+ +2. сумма будет ассоц +3. сумма будет коммут +4. сумма будет дистрибутивна + +Каждой паре нат чисел можно однозн сопост произведение, которое также +будет являться натуральным числом. При этом также будут выполняться 6 +условий +1. a \cdot 1 = a^+ +2. a \cdot b^+ = ab + a +3. сумма будет ассоц +4. сумма будет коммут +5. сумма будет дистрибутивна +6. ... + +Из аксиом 2 и 4 следует что множ нат чисел линейно и упорядочено. + +Из множества нат чисел построим множество целых чисел + +Опр. Множество целых чисел будем определять как объединение множества натуральных чисел + множ отриц нат чисел и нуля. Обозначается буквой Z. На множестве целых чисел определяются + операции сложения и умножения и задаются теми же правилами, что и для натуральных чисел. + +Опр. Пусть над нек множеством \Omega некоторой произвольной природы определены операции сложения + и умножения. Тогда это множество называется кольцом, если выполняются следующие условия: + 1. Сложение коммутативно + 2. Сложение ассоциативно + 3. Существует нулевой элемент, принадлежащий этому множеству такой, что a + 0 = a + 4. \forall a \in \Omega существует противоположный ему элемент, такой, что a + -a = 0 + 5. Умножение должно быть дистрибутивно относительно сложения: a * (b + c) = (a * b) + (a * c) + +- Если в кольце умножение коммутативно, то кольцо называется коммутативным. +- Если в кольце умножение ассоциативно, то кольцо называется ассоциативным. +- Если в кольце существует единичный элемент e, такой что a * e = e * a = a, то кольцо + называется кольцом с единицей +- Если в ассоциативном коммутативном кольце с единицей для любого элемента a \ne 0, такой, + что a * a^-1 = a^-1 * a = e, то такое кольцо будет называться полем +- Следует ответить, что множество натуральных чисел является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей + +** Делимость целых чисел + +Пусть a и b произвольные целые числа и пусть существует нек целое число q, что a = b * q. Тогда можно сказать, +что число a делится на число b. (Записывается как три точки) + +Свойства делимости +1. Каждое число a делится на единицу и делится на само себя +2. Отношение делимости транзитивно +3. Если a и b делится на c, то их сумма, разность и произведение на любое + произвольное целое число также будет делиться на c. +4. Пусть дано равенство a_1 + a_2 + \dots + a_m = b_1 + b_2 + \dots + b_n в + котором все члены кроме одного делятся на c. Тогда этот оставшийся член также будет делиться на c. +5. Пусть a и b целые числа. Если + +Опр. Пусть a и b целые числа и b \ne 0 и a = bq + r, где r = 0->b, то число q называется неполным частным + или просто частным, а число r является остатком от деления числа a на b. + +Теорема. Пусть a и b произвольные числа и b > 0. Частное и остаток от деления a + на b существуют и определены однозначно. + |