Merge branch 'master' of github.com:vasthecat/university-lectures

1 files changed, 0 insertions, 194 deletions

diff --git a/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex b/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex
deleted file mode 100644
index 5cf5dc7..0000000
--- a/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,194 +0,0 @@
-\subsection{Лекция 1 (02.09.21)}
-
-Данные, полученные человеком будут называться сообщениями. Информацией
-становятся те сообщения, которые используются для принятия каких-либо
-решений, то есть снимается неопределённость, которая существовала до их
-поступления.
-
-Следует отметить, что теория информации занимается изучением количества
-информации безотносительно какого-то содержания сообщения. Все сообщения
-в теории информации формализуются и изучается процесс формирования таких
-сообщений и способов их передачи.
-
-Предметом изучения теории информации являются вероятностные
-характеристики исследуемых объектов и явлений.
-
-Теория информации делится на:
-
-\begin{itemize}
-  \item
-    теорию передачи информации (предметом изучения являются оптимальные методы передачи сообщений);
-\end{itemize}
-
-\textbf{рис. 1}
-
-Сигналом принято считать некоторую физическую хар-ку, изменяющуюся во
-времени. Например, изменение напряжения во времени.
-
-В общем случае сигналом может быть любое изменение начального состояния
-объекта, которое способно вызвать реакцию человека или принимающего
-прибора.
-
-Различают сигналы:
-\begin{itemize}
-  \item зрительные
-  \item звуковые
-  \item радиоэлектрические
-  \item радиосигналы
-\end{itemize}
-
-Следует отметить, что одни сигналы могут как преобразовываться в другие,
-так и сами являться источниками формирования новых сигналов. С точки
-зрения изменения сигнала с течением времени различают \emph{статические}
-и \emph{динамические}.
-
-Статические --- это сигналы, которые отображают устойчивое изменение
-состояния объекта. Динамические --- это сигналы, отображающие
-непрерывные изменения некоторого объекта, либо процесса при переходе от
-одного устойчивого состояния к другому. К динамическим относятся все
-виды электромагнитных колебаний, а также распространения звука в воде и
-твёрдых предметах.
-
-По структуре сообщения сигналы делятся на \emph{непрерывные} и
-\emph{дискретные}. Сигналы могут быть непрерывными и дискретными как по
-времени, так и по множеству значений. Возможен один из четырёх видов
-сигналов:
-\begin{itemize}
-  \item полностью непрерывный сигнал (по времени и множеству значений)
-  \item непрерывный по множеству значений и дискретным по времени
-  \item дискретный по множеству значений и непрерывным по времени
-  \item полностью дискретный
-\end{itemize}
-
-Носителем сигнала всегда является объект или процесс. Однако если
-абстрагироваться от его физической природы, то существенными с точки
-зрения теории информации будут только его вероятностные характеристики и
-другие важные черты с точки зрения данного изучаемого процесса/сигнала.
-
-\textbf{В теории информации математическая модель сигнала может
-противоречить реальной физической структуре.} Допустим, в теории инф мы
-предполагаем, что структура сигнала известна приёмнику.
-
-\subsubsection{Обобщённое спектральное представление детерминированных
-сигналов}
-
-Чтобы изучать непрерывные сигналы для начала изучаются детерминированные
-сигналы, при этом они рассматриваются как некоторый ансамбль реализации \ldots{}.
-
-Мы будем использовать некоторую функцию
-
-\begin{equation}
-  u(t) = \sum_{k = 1}^{n} C_k \phi_k(t) \quad (1)
-\end{equation}
-
-Искусственно ограничиваем $t$ некоторым \emph{промежутком времени}
-$[t_1; t_2]$. Данная модель называется \textbf{линейной моделью сигнала}. Здесь
-$\phi_k(t)$ --- базисные функции, а $C_k$ --- безразмерный
-коэффициент. Если заданы все базисные функции, то функция $u(t)$ будет
-определяться только коэффициентами $C_k$. Эти коэффициенты будут
-называться \textbf{дискретным спектром сигнала}. За пределами интервала
-$t \in [t_1; t_2]$ времени сигнал считается \emph{всегда}
-\textbf{условно продолжающимся}.
-
-В некоторых задачах такое представление является неприемлемым, поэтому
-для сигналов конечной длительности существует другое представление:
-
-\begin{equation*}
-  u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(\alpha) \phi(\alpha, t) ; d\alpha \quad (2)
-\end{equation*}
-
-Здесь $S(\alpha)$ называется \emph{спектральной плотностью}, а
-$\phi(\alpha, t)$ \emph{базисной функцией}. Это модель \emph{непрерывного} сигнала.
-
-Раздел теории информации, который изучает сигналы в данных
-представлениях, называется \textbf{спектральной теорией сигналов}.
-
-Чем сложнее базисная функция, тем реальнее и сложнее модель.
-
-В связи с этим обычно используют набор ортогональных базисных функций,
-которые удовлетворяют следующему условию:
-
-
-\begin{equation*}
-  \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) d t =
-  \begin{cases} 0, &k \neq l  \\ \mu, &k = l \end{cases}
-  \quad (3)
-\end{equation*}
-
-То есть если умножить все $\phi_l (t)$ на данном интервале на коэффициент
-$\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированную функцию, то
-есть
-\begin{equation*}
-  \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt = 1, \quad k = l
-\end{equation*}
-
-Пусть имеется модель, удовлетворяющая условию ортонормированности.
-Возьмём модель (1), обе части данной модели умножим на $\phi_l(t)$ и
-проинтегрируем на интервале от $t_1$ до $t_2$. Получим
-
-\begin{equation*}
-  \int_{t_1}^{t_2} u(t) \phi_l(t) dt = 
-  \int_{t_1}^{t_2} \sum_{k = 1}^{n} C_k \phi_k(t) \phi_l(t) dt =
-  \sum_{k = 1}^{n} C_k \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt
-\end{equation*}
-
-Получаем
-\begin{equation*}
-  C_k = \int_{t_1}^{t_2} u(t) \phi_k(t) dt 
-\end{equation*}
-
-Исходя из этого получаем:
-\begin{enumerate}
-  \item Каждый коэффициент $C_k$ может вычисляться независимо друг от друга
-  \item
-    Сложность их вычисления будет зависеть только от сложности вычисления
-    базисных функций, поэтому для изучения сигналов применяются системы
-    ортогональных функций, в частности применяются
-    \begin{enumerate}
-      \item Системы тригонометрических функций
-      \item Системы функций Хаара
-      \item Полиномы Лежандра
-      \item Полиномы Чебышева
-      \item Полиномы Лагерра
-      \item Полиномы Эрмита
-    \end{enumerate}
-\end{enumerate}
-
-\subsubsection{Временная форма представления сигналов}
-
-Возьмём произвольную непрерывную функцию $u(t)$. Будем считать, что
-непрерывная функция представляет собой набор функций примыкающих друг к
-другу импульсов бесконечно малой длительности с амплитудой равной
-значению сигнала в конкретный момент времени, то есть получим новую
-модель, которая записывается через некоторую дельта-функцию.
-
-
-\begin{equation*}
-  u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \delta(\tau - t) d\tau \quad (4)
-\end{equation*}
-
-\begin{equation*}
-  \delta = \begin{cases} \infty, &t = \tau \\ 0, &t \neq \tau \end{cases}
-\end{equation*}
-
-Ортонормируем дельта-функцию:
-
-\begin{equation*}
-  \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau - t) d \tau = 1
-\end{equation*}
-
-Как видно, модель (4) является обобщённым спектральным представлением модели (2),
-базисной функцией которого является дельта-функция. Таким же образом с
-помощью этой модели мы можем построить дискретную модель, которая будет
-называться \textbf{решётчатой} функцией:
-
-\begin{equation*}
-  u_l(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} u(t) \delta(\tau - t), \quad \tau = \Delta t k
-\end{equation*}
-
-$\Delta t$ --- период импульса.
-
-Пределы суммы могут быть как конечными, так и бесконечными исходя из
-физической реальности.
-
-Эти две модели могут называться временными.