Fix some mistakes in first lecture

1 files changed, 29 insertions, 27 deletions

diff --git a/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex b/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex
index 4a0c03d..3fc34d0 100644
--- a/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex
+++ b/sem5/information-theory/lectures/lecture1.tex
@@ -42,8 +42,8 @@
 зрения изменения сигнала с течением времени различают \emph{статические}
 и \emph{динамические}.
 
-Статические --- это сигналы, которые изменяют устойчивое изменение
-состояния объекта. Динаические --- это сигналы, отображающие
+Статические --- это сигналы, которые отображают устойчивое изменение
+состояния объекта. Динамические --- это сигналы, отображающие
 непрерывные изменения некоторого объекта, либо процесса при переходе от
 одного устойчивого состояния к другому. К динамическим относятся все
 виды электромагнитных колебаний, а также распространения звука в воде и
@@ -53,14 +53,14 @@
 \emph{дискретные}. Сигналы могут быть непрерывными и дискретными как по
 времени, так и по множеству значений. Возможен один из четырёх видов
 сигналов: - полностью непрерывный сигнал (по времени \& множеству
-значений) - непрерывный по множеству значений и дискретным по времени -
-дискретный по множеству значений и непрерывным по времени - полностью
+значений) - непрерывный по множеству значений и дискретный по времени -
+дискретный по множеству значений и непрерывный по времени - полностью
 дискретный
 
 Носителем сигнала всегда является объект или процесс. Однако если
 абстрагироваться от его физической природы, то существенными с точки
 зрения теории информации будут только его вероятностные характеристики и
-другие важные черты с точки зрения данного изучаемого процесса.
+другие важные черты с точки зрения данного изучаемого процесса/сигнала.
 
 \textbf{В теории информации математическая модель сигнала может
 противоречить реальной физической структуре.} Допустим, в теории инф мы
@@ -70,51 +70,53 @@
 сигналов}
 
 Чтобы изучать непрерывные сигналы для начала изучаются детерминированные
-сигналы, при этом они рассматриваются как некоторый ансамбль \ldots{} .
+сигналы, при этом они рассматриваются как некоторый ансамбль реализации \ldots{}.
 
 Мы будем использовать некоторую функцию
 
 \begin{equation}
-  u(t) = \sum_{k = 1}^{}n C_k \phi_k(t) \quad (1)
+  u(t) = \sum_{k = 1}^{n} C_k \phi_k(t) \quad (1)
 \end{equation}
 
 Искусственно ограничиваем $t$ некоторым \emph{промежутком времени}
-(?). Данная модель называется \textbf{линейной моделью сигнала}. Здесь
+$[t_1; t_2]$. Данная модель называется \textbf{линейной моделью сигнала}. Здесь
 $\phi_k(t)$ --- базисные функции, а $C_k$ --- безразмерный
 коэффициент. Если заданы все базисные функции, то функция $u(t)$ будет
 определяться только коэффициентами $C_k$. Эти коэффициенты будут
-называться дискретным спектром сигнала. За пределами интервала
+называться \textbf{дискретным спектром сигнала}. За пределами интервала
 $t \in [t_1; t_2]$ времени сигнал считается \emph{всегда}
 \textbf{условно продолжающимся}.
 
 В некоторых задачах такое представление является неприемлемым, поэтому
-для сигналов конечной длительности существуе другое представление:
+для сигналов конечной длительности существует другое представление:
 
 \begin{equation*}
-  u(t) = \int_{-\infty}^{}\infty S(\alpha) \phi(\alpha, t) ; d\alpha \quad (2)
+  u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(\alpha) \phi(\alpha, t) ; d\alpha \quad (2)
 \end{equation*}
 
-Здесь $s(\alpha)$ называется \emph{спектральной плотностью}, а
-$\phi(\alpha, t)$. Это модель \emph{непрерывного} сигнала.
+Здесь $S(\alpha)$ называется \emph{спектральной плотностью}, а
+$\phi(\alpha, t)$ \emph{базисной функцией}. Это модель \emph{непрерывного} сигнала.
 
 Раздел теории информации, который изучает сигналы в данных
 представлениях, называется \textbf{спектральной теорией сигналов}.
 
+Чем сложнее базисная функция, тем реальнее и сложнее модель.
+
 В связи с этим обычно используют набор ортогональных базисных функций,
 которые удовлетворяют следующему условию:
 
 
 \begin{equation*}
-  \int_{t_1}^{}{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) d t =
+  \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) d t =
   \begin{cases} 0, &k \neq l  \\ 1, &k = l \end{cases}
   \quad (3)
 \end{equation*}
 
-То есть если умножить все $\phi_l$ на данном интервале на коэффициент
+То есть если умножить все $\phi_l (t)$ на данном интервале на коэффициент
 $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированную функцию, то
 есть
 \begin{equation*}
-  \int_{t_1}^{}{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt = 1, \quad k = l
+  \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt = 1, \quad k = l
 \end{equation*}
 
 Пусть имеется модель, удовлетворяющая условию ортонормированности.
@@ -123,13 +125,13 @@ $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированн�
 
 \begin{equation*}
   \int_{t_1}^{t_2} u(t) \phi_l(t) dt = 
-  \int_{t_1}^{t_2} \sum_{k = 1}^n C_k \phi_k(t) \phi_l(t) dt =
-  \sum_{k = 1}^n C_k \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt
+  \int_{t_1}^{t_2} \sum_{k = 1}^{n} C_k \phi_k(t) \phi_l(t) dt =
+  \sum_{k = 1}^{n} C_k \int_{t_1}^{t_2} \phi_k(t) \phi_l(t) dt
 \end{equation*}
 
 Получаем
 \begin{equation*}
-  C_k = \int_{t_1}^{t_2} \phi(t) \phi_k(t) dt 
+  C_k = \int_{t_1}^{t_2} u(t) \phi_k(t) dt 
 \end{equation*}
 
 Исходя из этого получаем:
@@ -137,7 +139,7 @@ $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированн�
   \item Каждый коэффициент $C_k$ может вычисляться независимо друг от друга
   \item
     Сложность их вычисления будет зависеть только от сложности вычисления
-    базисной функции, поэтому для изучения сигналов применяются системы
+    базисных функций, поэтому для изучения сигналов применяются системы
     ортогональных функций, в частности применяются
     \begin{enumerate}
       \item Системы тригонометрических функций
@@ -153,13 +155,13 @@ $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированн�
 
 Возьмём произвольную непрерывную функцию $u(t)$. Будем считать, что
 непрерывная функция представляет собой набор функций примыкающих друг к
-другу импульсов бесконечно малых длительности с амплитудой равной
-значению сигнала в конретный момент времени. То есть получим новую
+другу импульсов бесконечно малой длительности с амплитудой равной
+значению сигнала в конкретный момент времени, то есть получим новую
 модель, которая записывается через некоторую дельта-функцию.
 
 
 \begin{equation*}
-  u(t) = \int_{-\infty}^{}\infty u(\tau) \delta(\tau - t) d\tau \quad (4)
+  u(t) = \int_{-\infty}^{\infty} u(\tau) \delta(\tau - t) d\tau \quad (4)
 \end{equation*}
 
 \begin{equation*}
@@ -168,16 +170,16 @@ $\frac{1}{\sqrt{\mu}}$, то мы получим ортонормированн�
 
 Ортонормируем дельта-функцию:
 \begin{equation*}
-  \int_{-\infty}^{}\infty \delta(\tau - t) d \tau = 1
+  \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\tau - t) d \tau = 1
 \end{equation*}
 
-Как видно, модель (4) является обобщённым случаем модели (2), базисной
-функцией которого является дельта-функция. Таким же образом мы можем с
+Как видно, модель (4) является обобщённым спектральным представлением модели (2),
+базисной функцией которого является дельта-функция. Таким же образом с
 помощью этой модели мы можем построить дискретную модель, которая будет
 называться \textbf{решётчатой} функцией:
 
 \begin{equation*}
-  u_l(t) = \sum_{k = -\infty}^{}\infty u(t) \delta(\tau - t), \quad \tau = \Delta t k
+  u_l(t) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} u(t) \delta(\tau - t), \quad \tau = \Delta t k
 \end{equation*}
 
 $\Delta t$ --- период импульса.