Переместил все лекции пятого семестра в корень проекта

4 files changed, 0 insertions, 240 deletions

diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture1.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture1.tex
deleted file mode 100644
index 98db9dc..0000000
--- a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture1.tex
+++ /dev/null
@@ -1,50 +0,0 @@
-% Лекция 1 (03.09.21)
-\section{Алгебра отношений}
-Обозначение множеств:
-\begin{itemize}
-  \item $A = \{ a : P(A) \}$
-  \item $[0, 1] = \{ x : x \in R \land 0 \leq x \leq 1 \}$
-  \item $A = \{ 0, 1, \dots, 10 \}$
-\end{itemize}
-
-Основные действия над множествами:
-\begin{itemize}
-  \item Сравнение множеств: $A = B$ означает, что $|A|=|B| \land \forall x \in A \iff x \in B$
-  \item Объединение: $A \cup B$ --- множество, состоящее из элементов $A$ или $B$. $A \cup B = \{ x : x \in A \lor x \in B \}$
-  \item Разность множеств: $A - B = \{ x : x \in A \land x \not\in B \}$
-\end{itemize}
-
-\begin{definition}
-  $\{ x, y \}$ называется неупорядоченной парой элементов $x$, $y$.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}
-  Множество $(a, b) = \{ a, \{a, b\} \}$ называют упорядоченной парой.
-\end{definition}
-
-$A_1 \cdot \ldots \cdot A_n = \{ (a_1, a_2, \dots, a_n) : \dots \}$
-
-\dots
-
-\begin{definition}
-  Всюду определённое и однозначеное бинарное отношение $\phi \subset A \times B$ обозначается $\phi: A \to B$ и
-  называется отображением $A$ в $B$, или \textit{функцией} на множестве $A$ со значениями в множестве $B$.
-\end{definition}
-
-Для отображения $\phi: A \to B$:
-\begin{itemize}
-  \item Область определения $D_p = A$ 
-  \item Область значений $E_p = B$
-\end{itemize}
-
-\begin{definition}
-  Отображение $\phi: A \to B$ называется:
-  \begin{itemize}
-    \item \textit{Преобразованием} множества $A$, если $A = B$;
-    \item \textit{Отображением} множества $A$ на множество $B$, если $E_\phi = B$;
-    \item \textit{Взаимно однозначным отображением} множества $A$ в множество $B$, если оно является взаимно однозначным бинарным отношением;
-    \item \textit{Взаимно однозначным отображением} $A$ на $B$ если оно взаимно однозначно и $E_\phi = B$;
-    \item \textit{Перестановкой} множества $A$, если оно является взаимно однозначным отображением множества $A$ на себя.
-  \end{itemize}
-\end{definition}
-
diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex
deleted file mode 100644
index 4707dd5..0000000
--- a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture3.tex
+++ /dev/null
@@ -1,92 +0,0 @@
-% Лекция 3 (17.09.21)
-\begin{example}
-  На $Z$ рассматривается бинарное отношение $(x, y) \in \varepsilon \iff |x| = |y|$. 
-  Очевидно, что $\varepsilon$ рефлексивно, симметрично и транзитивно. 
-  $\varepsilon$ является эквивалентным на $Z$ с классами $\varepsilon(x) \{ x, -x \}$  
-\end{example}
-
-\begin{example}
-  На $Z$ для фиксированного $m \in N$ $(x, y) \in \varepsilon \iff$ $x - y$ делится
-  на $m$ то есть $x - y = k \cdot m$ для некоторого $k \in Z$.
-  \begin{itemize}
-    \item 
-      \textit{Рефлексивность}. $(x, x) \in \varepsilon$ равносильна 
-      $x - x = m \cdot k$, ($\exists k \in R$) --- выполняется 
-      $x - x = m \cdot O$ для $O \in Z$
-    \item 
-      \textit{Симметричность}. 
-      $(x, y) \in \varepsilon \implies (y, x) \in \varepsilon$, 
-      то есть $x \cdot y = m \cdot k, \, \exists k \in Z \implies 
-      y \cdot x = m \cdot l, \, (\exists l \in Z)$ --- верно, 
-      то есть $l = -k \in Z$
-    \item
-      \textit{Транзитивность}. 
-      $(x, y) \in \varepsilon \land (y, z) \in \varepsilon \implies 
-      (x, z) \in epsilon$, то есть 
-      $x - y = m \cdot k, \, (\exists k \in Z) \lor 
-      y - z = m \cdot l, \, (\exists l \in Z) \implies 
-      x -z = m \cdot p, \, (\exists p \in Z)$.
-  \end{itemize}
-
-  $x - z = (x - y) + (y - z) = m \cdot k + m \cdot l = m \cdot (k + l)$ для $k + l \in Z$
-  
-  Получаем, что $\varepsilon$ --- отношение эквивалентности, которое 
-  обозначается $\text{mod}\, m$ и называется отношением сравнения по модулю $m$.
-
-  Классы отношения эквивалентности $\varepsilon$ : 
-  \begin{eqnarray}
-    \varepsilon(0) &= \{ 0, m, 2m, \dots, -m, -2m \} = m \cdot \Z \\
-    \varepsilon(1) &= \{ 1, m + 1, 2m + 1, \dots, -m + 1, -2m + 1 \} = m \cdot \Z + 1 \\
-    &\dots \\
-    \varepsilon(m - 1) &= \{ m - 1, 2m - 1, \dots \} = m \cdot \Z + (m - 1) \\
-    \varepsilon(m) &= m \cdot \Z + m = m \cdot (Z + 1) = m \cdot Z = m(0)
-  \end{eqnarray}
-
-  Фактор-множество $\Z/\text{mod}\, m = \{ \varepsilon(0), \dots, \varepsilon(m - 1) \}$
-\end{example}
-
-\begin{example}
-  На множестве $V$ всех векторов на плоскости рассмотрим бинарное отношение $\varepsilon$:
-  $(a, b) \in \varepsilon \iff (a \upuparrows b \land |a| = |b|)$. 
-  $\varepsilon$ является отношением эквивалентности с классами эквивалентности 
-  $\varepsilon(a) = \{ x \in V : a \upuparrows x \land |a| = |x| \}$.
-  Фактор-множество: $V/\varepsilon = \{ \varepsilon(a) : a \in V \}$
-\end{example}
-
-\begin{definition}
-  Бинарное отношение $\varepsilon$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
-  эквивалентности} (или просто \textit{эквивалентностью}), если оно рефлексивно,
-  симметрично и транзитивно.
-\end{definition}
-
-\begin{definition}
-  \textit{Ядром отображения} $\phi: A \to b$ называется бинарное отношение 
-  $ker \phi$ на множестве $A$, которое определяется по формуле 
-  \begin{equation*}
-    ker \phi \{ (a, b) \in A^2 : \phi(a) = \phi(b) \}
-  \end{equation*}
-\end{definition}
-
-\begin{definition}
-  \textit{Каноническим отображением} эквивалентности $\varepsilon$ называется
-  отображение $nat \varepsilon$ множества $A$ на фактор-множество $A/\varepsilon$,
-  которое каждому элементу $a \in A$ ставит в соответствие содержащий его класс
-  эквивалентности $[a]$. Легко видель, что $ker nat \varepsilon = \varepsilon$
-\end{definition}
-
-\begin{definition}
-  Подмножество $T \subset A$ называется полной системой представителей классов
-  эквивалентности $\varepsilon$ на множестве $A$, если:
-  \begin{enumerate}
-    \item $\varepsilon(T) = A$
-    \item из условия $t_1 \equiv t_2(\varepsilon)$ следует $t_1 = t_2$
-  \end{enumerate}
-\end{definition}
-
-Классы эквивалентности $[t] \in A/\varepsilon$ могут быть отождествленны со 
-своими представителями $t$ и фактор-множество $A/\varepsilon$ может быть 
-отождествленно с множеством $T$.
-
-...
-
-Извествен алгоритм построения СДНФ для любой формулы $\Phi (\neq 0)$
diff --git a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex b/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex
deleted file mode 100644
index eb76b95..0000000
--- a/sem5/universal-algebra/lectures/lecture4.tex
+++ /dev/null
@@ -1,84 +0,0 @@
-% Лекция 4 01.10.21
-\begin{definition}[Принцип двойственности]
-  Если утверждение $\Phi$ верно для всех упорядоченных множеств, то
-  двойственное ему утверждение также верно для всех упорядоченных множеств.
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  \begin{enumerate}
-    \item
-      Для утверждения ``если в упорядоченном множестве существует $\sup X$,
-      то он единственнен'' двойственным будет ``если в упорядоченном
-      множестве существует $\inf X$, то он единственен''.
-    \item
-      Для утверждения ``упорядоченное множество $(A, \leq)$ имеет
-      наибольший элемент'' двойственным будет ``упорядоченное множество
-      $(A, \leq)$ имеет наименьший элемент''.
-  \end{enumerate}
-\end{example}
-
-\subsection{Упорядочивание множества слов}
-
-\subsection{Подмножества и морфизмы упорядоченных множеств}
-\begin{lemma}[Цорна]
-  Если в упорядоченном множестве любая цепь имеет верхнюю
-  грань, то каждый элемент этого множества содержится в
-  некотором максимальном элементе.
-\end{lemma}
-
-\begin{lemma}[Аксиома выбора]
-  Для любого множества $A$ существует такая функция
-  $f : P(A) \to A$, что $f(X) \in X$ для любого $X \in P(A)$.
-\end{lemma}
-
-\begin{definition}
-  Упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности},
-  если каждое его непустое подмножество имеет минимальный элемент.
-\end{definition}
-
-\begin{lemma}[Обобщённый принцип индукции]
-  Если упорядоченное множество удовлетворяет \textit{условию минимальности}
-  и подмножество $B \subset A$ содержит все такие элементы $a \in A$, для
-  которых при всех $x < a$ выполняется $x \in B$, то $B = A$.
-\end{lemma}
-
-\begin{definition}
-  \textbf{Морфизмы} --- это отображения $\varphi : A \to B$, которые сохряняют
-  дополнительную алгебраическую структуру на множества $(A, B)$.
-
-  Если $a_1 \leq_A a_2 \implies \varphi(a_1) \leq_B \varphi(a_2) \quad (\forall a_1, a_2 \in A)$
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  $\varphi : (\N, \leq_\N) \to (\Z, \leq_\Z)$
-\end{example}
-
-\subsection{Отношение квазипорядка}
-
-\begin{definition}
-  Бинарное отношение $\omega$ на множестве $A$ называется \textit{отношением
-  квазипорядка} (или просто \textit{квазипорядком}), если оно рефлексивно
-  и транзитивно.
-
-  Отношение $\delta = \omega \cap \omega^{-1}$ называется \textit{ядром}
-  квазипорядка $\omega$.
-\end{definition}
-
-\begin{example}
-  \begin{enumerate}
-    \item
-      Любая эквивалентность $\equiv$ и любой порядок $\leq$ на множестве
-      $A$ являются квазипорядками с ядрами $\delta = \equiv$ и
-      $\delta = \Delta_A$ соответственно.
-    \item
-      Отношение делимости $|$ на множество целых чисел $\Z$ является
-      квазипорядком с ядром $\delta = \{ (n, \mp n) | n \in \Z\}$.
-    \item
-      Отношение логического следлвания на множестве $F_{AB}$ формул
-      логики высказываний является квазипорядком, ядром которого
-      является отношение логической равносильности формул.
-    \item
-      Отношение достижимости вершин в ориентированном графе является
-      квазипорядком, ...
-  \end{enumerate}
-\end{example}
\ No newline at end of file
diff --git a/sem5/universal-algebra/universal-algebra.tex b/sem5/universal-algebra/universal-algebra.tex
deleted file mode 100644
index 12f87bc..0000000
--- a/sem5/universal-algebra/universal-algebra.tex
+++ /dev/null
@@ -1,14 +0,0 @@
-\documentclass{../Lecture}
-\usepackage{../preamble}
-
-\begin{document}
-
-\author{Андрей гущин}
-\title{Универсальная прикладная алгебра}
-\maketitle
-
-\include{lectures/lecture1.tex}
-\include{lectures/lecture3.tex}
-\include{lectures/lecture4.tex}
-
-\end{document}